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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.
por Balanar » Sáb Ago 07, 2010 17:58
IME-96
Seja f uma função real tal que
a
![f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt[]{f(x)-{\left[ f(x) \right]}^{2}}}](/latexrender/pictures/ea892c68adbdd818a1fec22c9e3b64cf.png "f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt[]{f(x)-{\left[ f(x) \right]}^{2}}}")
, f é periódica?
Justifique:
Resposta:
f é periódica de período 2a.
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Balanar
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por Douglasm » Sáb Ago 28, 2010 17:02
Para que uma função seja periódica, deve ser válida a seguinte igualdade:
Temos, portanto, que tentar expressar a função desejada do modo acima. Começaremos organizando-a de outro modo:
![f(x+a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - [f(x)]^2} \;\therefore](/latexrender/pictures/8369cc957a4a379a926adfa8ad9a81fd.png "f(x+a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - [f(x)]^2} \;\therefore")
![\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = f(x) - [f(x)]^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/67934cfc9b0bbec125b94f767a014717.png "\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = f(x) - [f(x)]^2 \;\therefore")
![\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + f(x) - [f(x)]^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/14148f48f94826039e9a56c7ce51745d.png "\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + f(x) - [f(x)]^2 \;\therefore")
![\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[f(x) - \frac{1}{2}\right]^2 \;\fbox{1}](/latexrender/pictures/69cdded71ee4f383679fef1089e80d0e.png "\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[f(x) - \frac{1}{2}\right]^2 \;\fbox{1}")
Para facilitar, vamos fazer a seguinte substituição:
![\left[g(x+a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[g(x)\right]^2](/latexrender/pictures/5bc54eb052657fe457d327269dd512f7.png "\left[g(x+a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[g(x)\right]^2")
Se agora considerarmos a função para
x = x + a, teremos:
![\left[g(x+2a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[g(x + a)\right]^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/d7a0bf58ea4ccbea0cc42e1cc289aa0d.png "\left[g(x+2a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[g(x + a)\right]^2 \;\therefore")
![\left[g(x+2a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \left[g(x)\right]^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/258ee2672309e983bba4e4d8bc92be20.png "\left[g(x+2a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \left[g(x)\right]^2 \;\therefore")
![\left[g(x+2a)\right]^2 = \left[g(x)\right]^2 \;\therefore](/latexrender/pictures/3d8cabb06d1504c04b8d98621185d0ed.png "\left[g(x+2a)\right]^2 = \left[g(x)\right]^2 \;\therefore")
Para justificar o último passo, note (através de
1) que:
Consequentemente:
Isso é o bastante para justificar que
g(x+2a) = g(x). Como
g(x) = f(x) - 1/2 , analisando graficamente, notamos que o termo
-1/2 só desloca o gráfico de
f(x) sem alterar sua forma, tampouco sua periodicidade. Demonstramos então que
f(x) é uma função periódica cujo período é
2a.
-
Douglasm
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por Balanar » Sáb Ago 28, 2010 17:50
Brilhante resposta, parabéns.
-
Balanar
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por Douglasm » Sáb Ago 28, 2010 17:59
Que nada, eu já conhecia esse tipo de questão. =)
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Douglasm
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por kamillanjb » Ter Mar 15, 2011 22:57
MAs tá muito bem explicado. Sério mesmo. De grande ajuda.
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kamillanjb
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Funções
Autor:
Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24
Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.
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