[Ângulo - reta e plano] Dúvida exercício

por **MrJuniorFerr** » Sex Out 12, 2012 11:51

Tem um exercício aqui que estou com dúvida:

Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r e o plano $\pi$

r: y-z=0

e
$\pi: z=0$

Sabe-se que para obter o ângulo de uma reta e um plano, deve-se utilizar esta fórmula:
$sen \theta = \frac{\left|\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\left| \overrightarrow{v}\left|\left|\right| \right|\overrightarrow{n} \right| \right|} \right|$

O vetor diretor $\overrightarrow{v}$ da reta é (0,1,-1) e o vetor normal $\overrightarrow{n}$ do plano é (0,0,1).
Apliquei na fórmula e cheguei que $\theta=sen^-^1 \left(\frac{\sqrt[]{2}}{2} \right)$
Se eu fizesse a continha, daria 45º. Mas, o exercício quer em rad. Como eu faço isso?

Editando:

Ops, consegui fazer por regra de 3...

$360 graus - 2\pi rad$
45 graus - x

$\frac{90\pi}{360} = x$

$\frac{\pi}{4} rad = x$

por **MarceloFantini** » Sex Out 12, 2012 12:44

Uma observação: se você está usando o produto escalar (ou produto interno), então o resultado é o cosseno do ãngulo, não o seno.

por **MrJuniorFerr** » Sex Out 12, 2012 13:13

MarceloFantini escreveu:Uma observação: se você está usando o produto escalar (ou produto interno), então o resultado é o cosseno do ãngulo, não o seno.

É nada Marcelo, eu também imaginava que fosse assim devido as fórmulas do produto escalar e vetorial, pois o do produto escalar contém o cosseno e a do vetorial o seno. Mas de acordo com o livro Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e com o gabarito da minha lista de exercícios, é da seguinte forma:
Quando queremos o ângulo de dois planos, devemos usar quase essa mesma fórmula que postei, só trocando o vetor diretor $\overrightarrow{v}$ pelo vetor normal $\overrightarrow{n}$ do outro plano e trocando o seno por cosseno e quando queremos o ângulo de uma reta e um plano, devemos essa fórmula que postei com o seno.
Lembrando que para os dois tipos de exercícios, se usam o produto escalar na fórmula. Realmente eu também acho estranho.

por **MarceloFantini** » Sex Out 12, 2012 13:38

Não faz sentido. Quando queremos o ângulo entre dois planos, apenas fazemos o produto escalar entre os vetores normais aos planos, logo $\theta = \arccos \left( \frac{| \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} |}{| \vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \right)$ .

Se a reta e o vetor normal ao plano forem ortogonais o produto escalar entre eles será zero, que por sua fórmula indicará que o ângulo é zero entre eles, uma contradição. Você poderia citar o trecho em que o livro explica isto?

por **MrJuniorFerr** » Sex Out 12, 2012 13:55

Marcelo, to de saída agora.. vou até a universidade, pois combinei com a professora para tirar algumas dúvidas quanto a lista, pois a minha prova é na próxima terça. Ao voltar, coloco aqui todos os detalhes.
Até mais

Editando: No máximo 16:30 estou de volta.

por **MrJuniorFerr** » Sex Out 12, 2012 18:53

Desculpe a demora Marcelo, houve um imprevisto.

Tudo o que o livro diz sobre ângulo de retas e planos é:

Seja uma reta r com direção do vetor $\overrightarrow{v}$ e um plano $\pi$ , sendo $\overrightarrow{n}$ um vetor normal a $\pi$ .
O ângulo $\phi$ da reta r com o plano $\pi$ é o complemento do ângulo $\theta$ que a reta r forma com uma reta normal ao plano.
Tendo em vista que $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ e, portanto, $cos\theta = sen\phi$ , vem, de acordo com a fórmula $cos\theta= \frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$

$sen\phi= \frac{\left|\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$ , $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$

por **MarceloFantini** » Sex Out 12, 2012 20:18

Agora tudo faz sentido.

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