limites

por **giulioaltoe** » Qua Jul 06, 2011 00:20

a questao e essa $\lim_{x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1}$ entao fiz o desenvolvimento e cheguei a a algo do tipo $\lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)}$ a partir dai nao achei termos em comum para cortar termos e chegar a uma reposta concreta se alguem souber agradeço

eu cheguei a outra fatoração tbm que h $\lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{x^p(x-1)-(x-1)}$ mas nao sai dai!!

por **LuizAquino** » Qua Jul 06, 2011 00:52

giulioaltoe escreveu:a questao e essa $\lim_{\Delta x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1}$ (...)

Reveja o texto original do exercício, pois o limite deve ser algo como $\lim_{x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1}$ .

giulioaltoe escreveu:fiz o desenvolvimento e cheguei a a algo do tipo $\lim_{\Delta x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)}$ a partir dai nao achei termos em comum para cortar termos e chegar a uma reposta

Dica: use o produto notável descrito na mensagem abaixo para desenvolver x^n - 1

:
viewtopic.php?f=120&t=5302#p18125

por **giulioaltoe** » Qua Jul 06, 2011 00:57

escrevi errado msm esse delta nao existe, mas se eu tenho uma potencia com radical indefinido como posso saber ate onde devo fazer o produto notavel, existe alguma propriedade que resuma isso!?

por **LuizAquino** » Qua Jul 06, 2011 10:31

giulioaltoe escreveu:eu tenho uma potencia com radical indefinido como posso saber ate onde devo fazer o produto notavel, existe alguma propriedade que resuma isso!?

Assim como foi feito na mensagem que eu indiquei acima, você usará a reticências para simbolizar o desenvolvimento desse produto notável.

por **giulioaltoe** » Qua Jul 06, 2011 19:07

como ${x\to1}$ na hora de substituir a equação ${x^n-1}$ a resposta seria (x-1)(n) ja que sao n termos e multiplicando eles por 1 seria n a resposta dessa parte da equação?

por **MarceloFantini** » Qua Jul 06, 2011 19:42

Giulio, note que $x^n -1 \neq (x-1)n$ , são bem diferentes. Sobre seu limite, não vejo indeterminação quando $x \to 1$ . Você tentou substituir? Tem a resposta?

por **giulioaltoe** » Qui Jul 07, 2011 15:22

eu peguei ${x^n-1}$ ai o produto notavel disso ${(x-1)(x^n^-^1+x^n^-^21+...+x1^n^-^2+1^n^-^1)}$ e substituindo o 1 no lugar de x eu acharei n termos que sao 1 elevado a um valor n que independente dele vai dar um sendo assim terrei ${1^nn}$ que sera n!

por **MarceloFantini** » Qui Jul 07, 2011 15:24

quando

é 0.

por **giulioaltoe** » Qui Jul 07, 2011 15:33

mas na questao eu tenho que extrair o {x-1}

para posteriormente poder cortar com a expressao de baixo, pois se nao o limite fica indeterminado!

por **LuizAquino** » Qui Jul 07, 2011 17:37

Temos que
$\lim_{x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1} = \lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)}$

Usando produtos notáveis, sabemos que
$x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)$

$x^p - 1 = (x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)$

Sendo assim, ficamos com
$\lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)} = \lim_{ x\to1}\frac{(x-1)\left[nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)\right]}{(x-1)(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}$

Mas, temos que
$\lim_{ x\to1}\frac{(x-1)\left[nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)\right]}{(x-1)(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)} = \lim_{ x\to1}\frac{nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)}{(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}$

É fácil perceber no último limite que no denominador temos algo aproximando-se de 0. Mas, no numerador também temos algo aproximando-se de 0, pois temos n parcelas naquela soma e quando x tender a 1 ficaremos com n - n = 0. Em resumo, o último limite é uma indeterminação do tipo 0/0.

Para remover essa indeterminação precisamos dividir o numerador e o denominador por (x - 1)

.

É fácil perceber que a divisão de $(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)$ por (x - 1)

resulta em $x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$ .

Agora, é necessário dividir $nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)$ por (x - 1)

. Aplicando os conhecimentos sobre divisão de polinômios, obtemos:
$\left[nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)\right] \div (x - 1)$ $= nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + (n - 2)x^{n-3} + \cdots + 2x + 1$

Portanto, temos que
$\lim_{ x\to1}\frac{nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)}{(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}$ $= \lim_{x\to 1}\frac{nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + (n - 2)x^{n-3} + \cdots + 2x + 1}{\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}$

Note que no denominador aparecerá a soma 1 + 1 + ... + 1 + 1, com p parcelas. Isso resulta em p.

Já no numerador irá aparecer a soma n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1. Ora, isso nada mais é do que a soma dos números inteiros indo de 1 até n, que como sabemos (por p. a.) é dada por $\frac{(1 + n)n}{2}$ .

Sendo assim, temos que
$\lim_{x\to 1}\frac{nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + (n - 2)x^{n-3} + \cdots + 2x + 1}{\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)} = \frac{(1 + n)n}{2p}$

Observação
Caso você não esteja bem treinado na divisão de polinômios, eu recomendo que você faça uma revisão.

por **giulioaltoe** » Qui Jul 07, 2011 20:50

e rapais, sua dica da revisao de divisão de polinomio e uma boa, porque foi a partir dai mesmo qua nao sabia fazer mais nada, mesmo com voce desenvolvendo ai nao lembro nada disso!! muito menos o de p.a muito obrigado vou procurar algo a respeito na intenet!