duvida prova lim

por **alexandreredefor** » Sex Jul 15, 2011 16:51

sejam f e g funções tais que $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=k$ , onde k é uma constante e $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$ . Prove que $\lim_{x \rightarrow a}\left|f(x)+g(x) \right|=\infty$

por **LuizAquino** » Sex Jul 15, 2011 17:05

O que você já tentou fazer? Onde está exatamente a sua dúvida?

por **alexandreredefor** » Sex Jul 15, 2011 17:18

não sei por onde começar sera que posso usar a propriedade

por **LuizAquino** » Sex Jul 15, 2011 17:52

Se já tiver sido provado as propriedades operatórios dos limites, então basta utilizá-las.

Caso contrário, você terá que provar usando a definição de limites.

por **LuizAquino** » Sex Jul 15, 2011 21:29

Vejamos como fazer utilizando as definições de limites.

Eu vou considerar que o símbolo $\infty$ significa $+\infty$ .

Temos duas hipótese:
(i) $\lim_{x\to a} f(x) = k$
Por definição: para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) - k| < \varepsilon$ sempre que $0 < |x - a| < \delta$ .

(ii) $\lim_{x\to a} g(x) = +\infty$
Por definição: para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $g(x) > \varepsilon$ sempre que $0 < |x - a| < \delta$ .

A tese será:
(iii) $\lim_{x\to a} |f(x) + g(x)| = +\infty$
Por definição: para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) + g(x)| > \varepsilon$ sempre que $0 < |x - a| < \delta$ .

Demonstração

Seja $\varepsilon > 0$ . Considere o número $\varepsilon + 1 - k$ .

Se $\varepsilon + 1 - k > 0$ , então pela hipótese (ii) existe $\delta_1 > 0$ tal que $g(x) > \varepsilon + 1 - k$ sempre que $0 < |x - a| < \delta_1$ .

Se $\varepsilon + 1 - k \leq 0$ , então pela hipótese (ii) existe $\delta_1 > 0$ tal que $g(x) > \varepsilon$ sempre que $0 < |x - a| < \delta_1$ . Mas como $\varepsilon > \varepsilon + 1 - k$ , temos que $g(x) > \varepsilon + 1 - k$ .

Por outro lado, sabemos que 1 é um número positivo. Portanto, pela hipótese (i) existe $\delta_2 > 0$ tal que |f(x) - k| < 1

sempre que $0 < |x - a| < \delta_2$ . Mas de |f(x) - k| < 1

, nós obtemos que k - 1 < f(x) < k + 1

. Ou seja, temos que f(x) > k - 1

.

Tome $\delta = \min \{\delta_1,\,\delta_2\}$ . Pelo que foi exposto acima, temos que para esse número $\delta > 0$ as duas inequações abaixo vão ocorrer sempre que $0 < |x - a| < \delta$ :
(1) $g(x) > \varepsilon + 1 - k$
(2) f(x) > k - 1

Somando (1) e (2), obtemos $f(x) + g(x) > \varepsilon$ .

Pela hipótese (ii), nas proximidade de a a função g é tal que g > 0.

Além disso, perceba que das duas hipóteses podemos concluir que nas proximidade de a as funções f e g são tais que g >> f (isto é, g é muito maior do que f).

Desse modo, teremos que nas proximidades de a irá ocorrer |f + g| = f + g.

Logo, obtemos que $|f(x) + g(x)| > \varepsilon$ .

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