Determinante + Trigonometria

por **Colton** » Sáb Out 23, 2010 17:59

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Olá pessoal!
Há dias agora estou me debatendo com o seguinte problema:

Mostre que

Det[M={{1, cos(2a), sen(a)}, {1, cos(2b), sen(b)}, {1, cos(2c), sen(c)}}]

é igual a

2*[sen(b)-sen(c)]*[sen(c)-sen(a)]*[sen(a)-sen(b)]

Eu só consigo chegar a

cos(2a)sen(b)-cos(2a)sen(c)+cos(2b)sen(c)-cos(2b)sen(a)+ cos(2c)sen(a)-cos(2c)sen(b)

ou cos(2a)[sen(b)-sen(c)] + cos(2b)[sen(c)-sen(a)] + cos(2c)[sen(a)-sen(b)]

Agora como transformar esta SOMA em um PRODUTO me escapa completamente, já consumi diversas “arvores” sem resultados....

Nota: Inserindo valores consegui ao menos constatar que a SOMA e o PRODUTO dão o mesmo resultado...

Alguém aí pode me dar uma orientação?

Colton

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por **VtinxD** » Sáb Out 23, 2010 20:32

Cara,este é tipo de determinante que não adianta usar o método tradicional, você acaba se enrolando.Este determinante pode ser feito de duas formas,pode ser feito por Vandermont* ou por Chió*.Vou tentar explica-los e então deixar para você fazer essa questão para que possa treinar,mas se ainda estiver com dificuldade posso mostrar a solução que achei aki.

Determinante de Vandermont: é uma fórmula para calcular determinantes de uma matriz especifica , da forma:
$\begin{displaymath} \mathbf{X} = \left( \begin{array}{ccc} {a}^{0} & {b}^{0} & \ldots \\ {a}^{1} & {b}^{1} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right) \end{displaymath}$
(Não vou fazer mais colunas porque tentei e ficou tudo bagunçado)
Perceba o padrão onde a cada linha que você desce você aumenta o expoente em 1.
D(x)=(b-a)(c-a)(c-b)(d-a)(d-b)(d-c)....

.Agora você deve estar se perguntando "Que 'c' e 'd' são esses?",eles são os outros elementos da mesma linha de a e de b,no exemplo estão em ordem alfabética.O mecanismo para calcular o determinante é ir diminuindo,um a um, os algarismos que estão a esquerda do numero do qual eles serão diminuidos.

Determinante de Chió:(esse vai ser mais dificil de perceber porque não sei fazer matriz 3x3,desculpa, mas vale para NxN)Sendo C uma matriz qualquer onde o primeiro elemento é igual 1.A matriz se transforma e você é capaz de calcular o determinante de uma matriz de ordem (N-1)x(N-1):
$C=\begin{vmatrix} 1 & b \\ c & d \end{vmatrix} \Rightarrow \left|C \right|=\begin{vmatrix} d-b.c \end{vmatrix}$ e como o determinante de uma matriz 1x1 é o elemento da matriz $\left|C \right|=d - b.c$
Este método serve para retirar uma linha e coluna.Para usar isto em qualquer matriz ,você deve eliminar a primeira linha e coluna, e para cada elemento restante da matriz diminuir do produto dos elementos da primeira linha e da primeira coluna que estavam na coluna e linha do elemento respectivamente.

Espero que tenha entendido, caso não tenha entendido procure no google por esses nomes você com certeza achará algo melhor do que minha explicação.
Caso ainda não consiga resolver a questão , depois eu posto minha solução mas ainda vou ter que aprender a representar matriz 3x3.

Lembre-se: $Cos(2x)={[cos(x)]}^{2}-{[sen(x)]}^{2}=2{[cos(x)]}^{2}-1=1-2{[sen(x)]}^{2}$

*Não vou demonstrar a fórmula porque não sei :-D

, se tudo der certo aprenderei ano que vem.

por **Colton** » Seg Out 25, 2010 12:24

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Olá VtinxD

Há uma série de manipulações possíveis com determinantes de matrizes.

Assim, inspirado por você, eu fiz o seguinte:

(i) Matriz original:
M={{1, cos(2a), sen(a)}, {1, cos(2b), sen(b)}, {1, cos(2c), sen(c)}}
(ii) Como cos(2a)= 1-2sen^2(a); cos(2b)= 1-2sen^2(b); cos(2c)= 1-2sen^2(c), temos:
M={{1, 1-2sen^2(a), sen(a)}, {1, 1-2sen^2(b), sen(b)}, {1, 1-2sen^2(c), sen(c)}}
(iii) Por soma ou por Jacobi temos:
M={{1, -2sen^2(a), sen(a)}, {1, -2sen^2(b), sen(b)}, {1, -2sen^2(c), sen(c)}}
(iv) Multiplicando cada elemento da 2a coluna por (-1/2) temos:
M= (-1/2)^3 {{1, sen^2(a), sen(a)}, {1, sen^2(b), sen(b)}, {1, sen^2(c), sen(c)}}
(v) Trocando a 2a coluna pela 3a temos:
M= (-1)(-1/8) {{1, sen(a), sen^2(a)}, {1, sen(b), sen^2(b)}, {1, sen(c), sen^2(c)}}
que pode ser resolvida por Chió ou cuja transformada pode se resolvida por Vandermont.

Só que por nenhum dos dois caminhos eu chego ao almejado

2*[sen(b)-sen(c)]*[sen(c)-sen(a)]*[sen(a)-sen(b)]

O que eu estou fazendo errado?

Abraço
Colton

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por **Colton** » Seg Out 25, 2010 15:03

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Olá VtinxD, again!

Eu fiz dois êrros na solução que lhe enviei há pouco:

(I) Quando você divide algo dentro da matriz, tem que multiplicar o determinante
pelo divisor...
(II) Quando você divide uma coluna, tem que só multiplicar o determinante, você
deve multiplicar pela potência n do divisor, somente quando são multiplicados
todos elementos da matriz n x n.

Assim:

(i) Matriz original:
M={{1, cos(2a), sen(a)}, {1, cos(2b), sen(b)}, {1, cos(2c), sen(c)}}
(ii) Como cos2a= 1-2sen^2a; cos2b= 1-2sen^2b; cos2c= 1-2sen^2c, temos:
M={{1, 1-2sen^2a, sen(a)}, {1, 1-2sen^2b, sen(b)}, {1, 1-2sen^2c, sen(c)}}
(iii) Por soma ou por Jacobi temos:
M={{1, -2sen^2a, sen(a)}, {1, -2sen^2b, sen(b)}, {1, -2sen^2c, sen(c)}}
(iv) Multiplicando cada elemento da 2a coluna por (-2) temos:
M= (-2){{1, sen^2a, sen(a)}, {1, sen^2b, sen(b)}, {1, sen^2c, sen(c)}}
(v) Trocando a 2a coluna pela 3a temos:
M= (-1)(-2){{1, sen(a), sen^2a}, {1, sen(b), sen^2b}, {1, sen(c), sen^2c}}
que pode ser resolvida por Chió ou cuja transformada pode se resolvida por Vandermont.
(v) Por Vandermont temos diretamente:
2[(sen(c)-sen(b)][(sen(c)-sen(a)][(sen(b)-sen(a)] =
2[(sen(b)-sen(c)][(sen(c)-sen(a)][(sen(a)-sen(b)] c.q.d.

Ufa!
Colton

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