(ITA) equaçoes logaritmica

por **natanskt** » Seg Out 11, 2010 17:11

seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação $log_{{\frac{1}{4}{(x+1)}=log_4{(x-1)}$ . Então:
a-)S é um conjunto e $s \subset]2,+\infty [$
b-)S é um conjunto unitário e $s \subset]1,2[$
c-)S possui dois elementos distintos e $s \subset]-2,2[$
d-)S possui dois elementos distintos e $s \subset]1,+\infty [$
e-)S é o conjunto Vazio

por **MarceloFantini** » Seg Out 11, 2010 17:45

$\log_{\frac{1}{4}} = - \log_4 (x+1) \rightarrow \log_{\frac{1}{4}} (x+1) = - \log_4 (x+1) = \log_4 (x-1) \rightarrow \log_4 (x-1) + \log_4 (x+1) = 0 \rightarrow \log_4 [(x-1)\cdot(x+1)] = 0 \rightarrow 4^0 = (x-1)(x+1) \rightarrow 1 = x^2 -1^2 \rightarrow x^2 = 2 \rightarrow x = \sqrt{2}$ ou $x = - \sqrt{2}$

Alternativa A está fora pois a resposta $x = - \sqrt{2}$ não está no conjunto dado.

Alternativa B está fora pois não é um conjunto unitário (são duas respostas).

Alternativa C está dentro pois tem dois elementos distintos e ambos estão no intervalo ]-2, 2[

.

Alternativa D está fora pelo mesmo motivo da alternativa A.

Alternativa E está fora pois não é vazio.

por **natanskt** » Ter Out 12, 2010 20:06

fantini aqui no gabarito esta falando que é a ALTERNATIVA B

por **MarceloFantini** » Ter Out 12, 2010 20:28

Natanskt, peço sinceras desculpas. Cometi um erro grotesco. A resposta $- \sqrt{2}$ é inválida pois não há como um número positivo ser elevado a um número real e resultar em negativo. A alternativa B está certa mesmo.

por **Molina** » Ter Out 12, 2010 20:30

Boa noite Fantini e Natan.

Se me permintem, note que $x=-\sqrt{2}$ não faz parte da solução, pois caso fizesse o logaritmando do lado direito da igualdade seria negativo, o que contraria a definição de logaritmo.

Assim, a única solução é $x=\sqrt{2}$

por **natanskt** » Qua Out 13, 2010 19:13

olá,não intendi
essa parte
$log_4^(-1){(x+1)}=log_4{(x-1)}$
$log_4^(-1){(x+1)}+ log_4{(x-1)}$ essa parte $log_4{(x-1)}$ não teria que passar para o outro lado negativo assim -log.......
ou quando é equação logaritmica eu não preciso mudar o sinal

boa noite pessoal
tchau

por **Elcioschin** » Qua Out 13, 2010 22:55

Natansk

log[1/4](x + 1) = log[4](x - 1) ----> Mudando o primeiro membro para base 4:

log[4](x + 1)/log[4](1/4) = log[4](x - 1) -----> log[4](1/4) = log[4](1) - log[4](4) = 0 - 1 = - 1

- log[4](x + 1) = log[4](x - 1)

log[4](x - 1) + log[4](x + 1) = 0

log[4](x - 1)*(x + 1) = log[4](1)

(x - 1)*(x + 1) = 1

x² - 1 = 1

x² = 2

x = +V2

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