Dúvida

por **miguelbaptista** » Sex Jan 09, 2009 03:29

Ora bom dia.

ln x^2=2ln4

consegui resolver da seguinte forma:

ln x^2=2ln4<=>lnx^2=ln4^2<=>x^2=4^2<=>x=+-4

Ora, atendendo às soluções do caderno, esta é a solução certa. No entanto, tentei resolver doutra forma e deu outro resultado.

lnx^2=2ln4<=>2lnx=2ln4<=>lnx=ln4<=>x=4

Alguém me sabe dizer onde está o erro ? obrigado

por **Molina** » Sex Jan 09, 2009 12:42

Boa tarde, Miguel.

Na verdade, a solução é apenas 4 pelo meu entendimento. Pois o logaritmando (x, no caso) precisa ser maior que zero. É claro que elevando -4 ao quadrado, tambem temos um numero positivo, porem, tendo x = -4, quando fazemos lnx^2=2ln4<=>2lnx=2ln4

ficamos com o x negativo, e pela propriedade de logaritmo nao é possivel.

Estou a disposiçao para mais questionamentos.

Bom estudo! :y:

por **miguelbaptista** » Sex Jan 09, 2009 18:41

molina escreveu:Boa tarde, Miguel.

Na verdade, a solução é apenas 4 pelo meu entendimento. Pois o logaritmando (x, no caso) precisa ser maior que zero. É claro que elevando -4 ao quadrado, tambem temos um numero positivo, porem, tendo x = -4, quando fazemos ficamos com o x negativo, e pela propriedade de logaritmo nao é possivel.

Estou a disposiçao para mais questionamentos.

Bom estudo!

Oi molina.

A solução segundo o livro é $x=4 \bigvee x=-4$ , e um dos exercícios é explicar porque não é só x=4.
A sua resposta ainda me deixou mais confuso sobre esta questão, pois segundo a minha pouca sabedoria, faz tanto sentido como as outras duas resoluções que transcrevi eheh.
Vejamos, você disse.

molina escreveu: tendo x = -4, quando fazemos ficamos com o x negativo, e pela propriedade de logaritmo nao é possivel.

pois... uma das questões que levanto é a seguinte: Poderá o logaritmo ter um logaritmando negativo caso o mesmo logaritmo esteja a ser multiplicado por um número par ? Como este caso 2lnx=2ln4

Poderá o número par continuar a exercer no logaritmando o efeito da exponenciação par, transformando-o em positivo ?

Outra questão que advém da sua análise:
O logaritmando duma função logaritmica tem de ser obrigatoriamente positivo, mas segundo a sua explicação, qualquer variável no logaritmando, mesmo que esteja a sofrer uma exponenciação par, tem de ser positivo, pois é sempre possível retirar essa exponenciação para a multiplicar pelo logaritmo. Será ?
Por exemplo, Logb^x

. Caso x fosse par, eu antes deduzia que o b podia ser negativo. Com esta sua explicação, o b NUNCA pode ser negativo, mesmo que o x seja par.

Obrigado.

por **Sandra Piedade** » Sex Jan 09, 2009 20:05

Oi miguelbaptista!

As soluções são duas.

Repare que o dominio da equação original é todo o conjunto dos reais (porque qualquer que seja x você pode calcular $ln\left({x}^{2} \right)$ ). Mas quando faz o primeiro passo da sua resolução fica com o domínio da nova equação reduzido aos números positivos (porque só pode calcular ln x

para valores de x positivos). Portanto o erro está logo no primeiro passo. Pense nisso. Será que pode mexer naquele expoente em qualquer caso?

Abraço.

por **miguelbaptista** » Sex Jan 09, 2009 21:35

Sandra Piedade escreveu:Portanto o erro está logo no primeiro passo.

Olá Sandra. Obrigado pela ajuda. O primeiro passo que refere é este?

lnx^2=2ln4<=>2lnx=2ln4

Se sim, então o erro será passar o expoente par do logaritmando para fora do logaritmo a multiplicar, limitando por isso o domínio da função ?

por **Sandra Piedade** » Sex Jan 09, 2009 22:16

Sim, é a esse passo que me refiro, penso que é aí que está o erro. Por isso só dá uma das duas soluções. Há que ter cuidado quando nos livramos de expoentes pares.

por **miguelbaptista** » Sex Jan 09, 2009 22:35

Sandra Piedade escreveu:Sim, é a esse passo que me refiro, penso que é aí que está o erro. Por isso só dá uma das duas soluções. Há que ter cuidado quando nos livramos de expoentes pares.

Ou seja, a solução é x=4 e x= -4 ?