[Relações] Simetria, Assimetria e Transitividade

por **raymondtfr** » Ter Nov 25, 2014 14:53

O livro que estou lendo diz o seguinte:

- Simetria
1) $\Re$ diz-se simétrica se, e somente se, quando $(a; b)\in \Re$ . Isto é:
$a\Re b \Rightarrow b\Re a$
Uma relação $\Re$ sobre um conjunto A não é simétrica se existirem a e b em A, $a\neq b$ , tais que $(a; b) \in \Re$ e $(b; a) \not\in \Re$ .

Até encima tudo bem...

- Transitividade
2) $\Re$ diz-se transitiva se, e somente se, quando $(a; b) \in \Re$ e $(b; c) \in \Re$ , então $(a; c) \in \Re$ .Isto é:
$a \Re b$ e $b \Re c) \Rightarrow a \Re c$

Aqui vem uma dúvida:
Mas neste exemplo:
a) Seja A =

{

}. A relação sobre A:
$\Re =$ { (a; b), (c; b), (b; a), (a; c)

}
Diz que não é transitiva, pois $(c; b) \in \Re$ e $(b; a) \in \Re$ , mas $(c; a) \not\in \Re$ .

DÚVIDA 01 (a): Mas $(a; c) \in \Re$ , $(c; b) \in \Re$ , então $(a; b) \in \Re$ , portanto é transitiva, estou certo?

- Antissimetria
3) $\Re$ diz-se antissimétrica se, e somente se, quando (a; b) $\in \Re$ e (b; a) $\in \Re$ , então, a = b. Isto é:
$(a \Re b$ e $b \Re a) \Rightarrow a = b$

Mas neste exemplo:
b) Seja A =

{

}. A relação sobre A.
$\Re =$ { (1; 3), (4; 2), (4; 4), (2; 4)

}
não é antissimétrica, pois (4; 2) $\in \Re$ e também (2; 4) $\in \Re$ .

DÚVIDA 02 (b): Eu entendi o exemplo "b)", pois com os elementos (4; 2) e (2; 4) a relação é obviamente simétrica, porém, o que eu não entendo é a definição dado pelo livro sobre a Antissimetria, que diz que $(a \Re b$ e $b \Re a) \Rightarrow a = b$ . Eu não entendo quando ele diz que a = b, embora num exemplo envolvendo "conjunto de conjuntos" eu tenha entendido perfeitamente.

Agradeço desde já! :-D

por **adauto martins** » Ter Nov 25, 2014 15:55

1)
$\Re:AXA$ tal q. $\Re=$ ={(a,b),(c,b),(b,a),(a,c)}...aqui $\Re\subset AXA$ ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},pela a definiçao de $\Re$ $,(c,a)nao pertence a \Re,mas pertence a AXA...$ ,logo a relaçao de transitividade em $\Re$ ,nao tem o elemento (c,a)...
2)
$\Re\subset AXA$ ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},q. contem o conjunto antisemtrico q. eh={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},logo...os elementos (2,4),(4,2) pertencentes a $\Re$ ,sao simetricos,mas nao antisemtricos,pois nao sao iguais $2\neq 4...$

por **raymondtfr** » Ter Nov 25, 2014 16:56

adauto martins escreveu:1)
$\Re:AXA$ tal q. $\Re=$ ={(a,b),(c,b),(b,a),(a,c)}...aqui $\Re\subset AXA$ ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},pela a definiçao de $\Re$ $,(c,a)nao pertence a \Re,mas pertence a AXA...$ ,logo a relaçao de transitividade em $\Re$ ,nao tem o elemento (c,a)...
2)
$\Re\subset AXA$ ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},q. contem o conjunto antisemtrico q. eh={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},logo...os elementos (2,4),(4,2) pertencentes a $\Re$ ,sao simetricos,mas nao antisemtricos,pois nao sao iguais $2\neq 4...$

Então quer dizer que minha suposição: "DÚVIDA 01 (a): Mas (a; c) $\in \Re$ , (c; b) $\in \Re$ , então $(a; b) \in \Re$ , portanto é transitiva, estou certo?" está errada?

Valeu!

por **adauto martins** » Ter Nov 25, 2014 17:15

R e transitiva com relaçao aos elementos de R,(a,c),(c,b),(a,b) pertencem a R,entao ha transitividade em aRc e cRb e aRb...esta correto como vc fez...mas se fosse cRb,bRa nao implica cRa,pois (c,a) nao pertence a R,logo nao ha transitividade em R p/(c,a)