Recuperação de Matemática - Valendo a minha alma

por **SamKoen** » Qua Dez 16, 2009 15:14

Preciso tirar a nota máxima (40,0) na prova de recuperação que minha querida professora marcou para amanhã de manhã, e só agora encontrei esse verdadeiro oasis de matemáticos que adoram resolver problemas.

Vou começar postando aqui a primeira prova do trimestre, que acertei 4 de 10 questões, é sobre números complexos:
E claro, aproveitei para revisar algumas das contas, espero ter acertado agora.

Peço a ajuda de todos vocês para me ajudar a entender de uma vez por todas essa matéria. Preciso muito passar de ano, já estou desesperado. Leiam novamente a primeira linha desse post para entenderem o drama.

1) Dê as condições sobre os reais

e

para que o número complexo Z=2x+(y-1)i

seja:

a) Imaginário Puro
RESPOSTA:
2x=0

$y-1\neq0$
$y\neq1$

b) Real
RESPOSTA:
$2x\neq0$
$x\neq0$

y-1=0

----
2) Dados ${Z}_{1}=x-6+(2-y)i$ e ${Z}_{2}=4+3i$ , encontre

e

para que ${Z}_{1} = {Z}_{2}$

RESPOSTA:
x-6+(2-y)i = 4+3i

Apliquei a igualdade de números complexos, e o resultado foi:

x-6=4

----
3) Determine o número complexo

tal que

RESPOSTA:

(o n° 1 abaixo não aparece na conta, mas está multiplicando o

)

(somando os termos semelhantes)
5a-bi=4-(1)i

(e agora aplicando a igualdade de números complexos)
5a=4

$a=\frac{4}{5}$

b=(1)

----
4) Qual o conjugado do n° complexo $Z=\frac{4}{1-i}$ ?

RESPOSTA:
(Aqui eu só multipliquei a fração pelo conjugado do denominador, não sei se fiz certo.)

$Z=\frac{4}{1-i} \frac{1+i}{1+i} = \frac{4+4i}{1+(i^2)} = \frac{4+4i}{1+1} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i$

----
5) Dados os números complexos Z_1=3+2i

e

, qual é o valor de |Z_1.Z_2|^2

?
(essa eu não respondi na prova, infelizmente. Mas vou tentar aqui.)

RESPOSTA:
Primeiro, multiplico Z_1

por

, certo?
Ficaria (3+2i)(2-5i)

que teria como resposta
6-15i+4i-10i

Juntando os termos...
6-21i

E na conta, agora temos:
|6-21i|^2

Então eu aplico aquela fórmula: $|Z|=\sqrt[]{6^2-21^2}$
$\sqrt[]{36-441}$
$\sqrt[]{405}$

E agora,
$| \sqrt[]{405} |^2=405$

Acertei? :-D

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6) Um número complexo

e seu conjugado são tais que Z+Z^-=4

e

. Qual a forma trigonométrica de Z^2

?
(essa eu também não fiz na prova D:)

RESPOSTA:
Bom, observando bem a conta, me parece mais lógico resolvê-la assim:

{ Z+Z^-=4

{ $Z-Z^-=-4i \rightarrow (2-2i)-(2+2i)=4i \rightarrow 2-2i-2-2i=4i = 0$ < deu zero o__o (empaquei aqui)

2Z=4-4i

< usei isso para continuar a conta acima citada ^

----
7) Coloque na forma algébrica o complexo: $2\sqrt[]{2}($ cos $\frac{5\pi}{3}+i$ sen $\frac{5\pi}{3})$
(um $\pi$ no meio da conta?!
Nunca vi isso.)
Alguém poderia resolver essa? :-P

----
8) Determine

e

de modo que $(4+i)(x-2i)=y+\frac{i}{2}$

RESPOSTA:
$4x-8i-xi-2(i²)=y+\frac{i}{2}$
(Passei aquele denominador da fração pra o outro lado, para multiplicar)

2(4x-2-xi-8i)=y+i

(Agora, tenho que encontrar o X)
2x-16=1

$x=\frac{15}{2}$

(Ainda me falta o Y)
$8(\frac{15}{2})-4=y$
$\frac{120}{2}-4=y$
60-4=y

Logo,
$x=\frac{15}{2}$
y=56

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... Ainda tenho mais duas provas para postar aqui, e tenho pouco tempo D:
Muito obrigado pela atenção.

por **MarceloFantini** » Qua Dez 16, 2009 18:59

Questão 1, você acertou inteira.

Questão 2, você errou no seguinte: x - 6 = 4 => x = 10

Questão 3, você acertou inteira.

Questão 4, embora você tenha acertado o resultado, você errou ali na fatoração: $\frac{4+4i}{1 - (i^2)}$ . Se fosse $\frac{4+4i}{1+(i^2)}$ , resultaria em $\frac{4+4i}{0}$ , um verdadeiro crime.

Questão 5, você acertou, se não me engano.

Questão 6, uma vez que você encontrou o complexo

, bastava você montar um pequeno gráfico com o ponto, encontrar o argumento e escrever $Z = \varphi(cos\theta + isen\theta)$ , que é a forma trigonométrica (lembrando que $\varphi$ é o módulo de

, que é a distância do afixo até a origem, e que o argumento é o ângulo formado pelo módulo com a horizontal, onde $0 \leq \theta \leq 2\pi$ .

Questão 7 é basicamente fazer a volta. Ele te dá a forma trigonométrica e quer a equação na forma Z = x + yi

. $\frac{5\pi}{3} = 300°$ .

Questão 8, você fez uma bobeirinha na hora da conta: $2x - 16 = 1 => 2x = 17 => x = \frac{17}{2}$ . Substituindo na equação (2) que é $8x +4 = 2y => 4x + 2 = y => 4(\frac{17}{2}) + 2 = y => 2.17 + 2 = y => y = 36$ .

Espero ter ajudado!

Um abraço, boa noite (e sucesso nas provas).

por **Cleyson007** » Qua Dez 16, 2009 19:31

Boa tarde Sam Koen!

Quanto a primeira questão:

a) Está resolvida corretamente. --> Parece que você não apresenta dúvidas quanto a esse exercício.
b) Está resolvida corretamente.

Quanto a segunda questão:

Sam Koen, o princípio utilizado para resolução está correto. (observe o valor que você encontrou para x)

x-6=4

(quando o sinal para o outro lado da igualdade ocorre a inversão do mesmo)

x=10

O valor de y está correto.

Quanto a terceira questão:

Sam Koen, estou considerando que ${Z}^{-}$ seja o conjugado de Z, é isso mesmo, não é?

Se for, sua resolução está correta!

Quanto a quarta questão:

Sam Koen, o processo de resolução está correto!

O conjugado de um número complexo fracionário é obtido multiplicando ambas as partes (numerador e denominador) pelo conjugado do denominador (sinal invertido da parte imaginária do denominador).

Quanto a quinta questão:

Essa foi resolvida ERRADA, veja:

$({Z}_{1}.{Z}_{2})$

(3+2i)(2-5i)

$6-15i+4i-{10i}^{2}$ $6-15i+4i-{10i}^{2}$

$({Z}_{1}.{Z}_{2})=16-11i$

Como o enunciado pede $\left|({Z}_{1}.{Z}_{2} \right|$

$\left|16-11i \right|$

$\left|({Z}_{1}.{Z}_{2} \right|=16+11i$

$\left|{Z}_{1}.{Z}_{2}\right|^2$

(16+11i)(16+11i)

Resolvendo, 135+325i

Vou te adiantar a resolução das cinco (05) primeiras questões que você postou. Daqui a pouco posto a resolução das outras.

Comente qualquer dúvida :y:

Até mais.

por **MarceloFantini** » Qua Dez 16, 2009 19:34

Perdão, eu estava errado sobre a questão 5. Siga o que o Cleyson falou!

Abraço, sucesso nas provas.

por **Cleyson007** » Qua Dez 16, 2009 19:57

Boa tarde Sam Koen e Fantini!

Fantini, que bom tê-la no Ajuda Matemática :-O

Agradeço sua interação com o fórum!

Vai a resolução da questão 6:

Quanto a questão 6:

Você encontrou o número complexo Z corretamente --> Z=2-2i

Vamos trabalhar com a Forma Trigonométrica de Z:

$Z=\left|Z \right|(cos\theta+i.sen\theta)$

Para achar o valor de $\left|Z \right|$

$\left|Z \right|=\sqrt[2]{{a}^{2}+{b}^{2}}$

Resolvendo, encontra-se: $\left|Z \right|=2\sqrt[2]{3}$

Para achar o $cos\theta$

$cos\theta=\frac{a}{\left|Z \right|}$

Para achar o $sen\theta$

$sen\theta=\frac{b}{\left|z \right|}$

Com esses dados, você encontrará o valor do $cos\theta$

$cos\theta=\frac{\sqrt[2]{3}}{3}$

E o $sen\theta$ , será: $sen\theta=\frac{-\sqrt[2]{3}}{3}$

Logo, na Forma Trigonométrica, tem-se: $Z=2\sqrt[2]{3}(\frac{\sqrt[2]{3}}{3}-\frac{\sqrt[2]{3}}{3}i)$ $Z=2\sqrt[2]{3}(\frac{\sqrt[2]{3}}{3}-\frac{\sqrt[2]{3}}{3}i)$

Comente qualquer dúvida :y:

Até mais.

por **MarceloFantini** » Qua Dez 16, 2009 20:00

Obrigado Cleyson, apenas um pequeno detalhe: tê-lo. *-)

Um abraço.

por **Cleyson007** » Qua Dez 16, 2009 20:02

Fantini escreveu:Obrigado Cleyson, apenas um pequeno detalhe: tê-lo.

Um abraço.

Desculpe Fantini

Um abraço.

por **SamKoen** » Sáb Dez 19, 2009 12:01

Desculpem não ter postado antes, voltei ao fórum quando recebi as respostas, mas não postei nada. Reparei meus erros e voltei a estudar.
Passei de ano graças a vocês, Fantini e Cleyson. Vocês simplesmente me fizeram gabaritar aquela prova de matemática!

Fica aqui meu MUITO OBRIGADO e votos de SUCESSO a vocês e a todos do fórum :-D