[Demostrações]Demostrações de alguns teoremas e proposições

por **DIego Gomes** » Seg Dez 16, 2013 23:05

Seja a e b números inteiros.
Prove que a² = 0, então a = 0.
Dúvida:
se considero a² = a * a e sendo a * a = 0, se dividir ambos por a, vou ter uma indeterminação? pois a = 0.

por **Pessoa Estranha** » Seg Dez 16, 2013 23:23

Olá !

Sim, você obterá uma indeterminação. Dentre várias maneiras de resolver, eu faria assim:
${a}^{2} = 0 \rightarrow \sqrt[2]{{a}^{2}} = \sqrt[2]{0} \rightarrow \left|a \right| = 0 \rightarrow a = 0$ .

Espero ter ajudado.

:y:

por **DIego Gomes** » Seg Dez 16, 2013 23:30

Pessoa Estranha escreveu:Olá !

Sim, você obterá uma indeterminação. Dentre várias maneiras de resolver, eu faria assim:
${a}^{2} = 0 \rightarrow \sqrt[2]{{a}^{2}} = \sqrt[2]{0} \rightarrow \left|a \right| = 0 \rightarrow a = 0$ .

Espero ter ajudado.

Não tinha pensado desta forma. Só tem um problema, é que no capítulo deste exercício não foi definido expoente fracionário. O que tem definido é somente as propriedades de soma e produto.

por **e8group** » Seg Dez 16, 2013 23:36

Há varias formas . Uma delas supor absurdo que $a \neq 0$ , e assim existe $a^{-1}$ tal que

$1 = a\cdot a^{-1} = 1 \cdot ( a\cdot a^{-1} ) = ( a\cdot a^{-1} ) \cdot (a \cdot a^{-1}) = a^2 \cdot a^{-2} = 0 \cdot a^{-2} = 0$ ,contradição .

Nota para quaisquer $\alpha \in \mathbb{R} , \alpha \cdot 0 = 0$ pois , $\alpha \cdot 0 = \alpha \cdot (0+0) = \alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0$ .

Alternativamente ,pelo elemento neutro aditivo

$a = a + 0 = a + a^2 = a + a\cdot a = a (1+a)$ . Daí segue pela unicidade do elemento neutro da multiplicação que

a+1 = 1

que novamente por unicidade ,desta vez do

que resulta a = 0

.

por **DIego Gomes** » Seg Dez 16, 2013 23:42

santhiago escreveu:Há varias formas . Uma delas supor absurdo que $a \neq 0$ , e assim existe $a^{-1}$ tal que

$1 = a\cdot a^{-1} = 1 \cdot ( a\cdot a^{-1} ) = ( a\cdot a^{-1} ) \cdot (a \cdot a^{-1}) = a^2 \cdot a^{-2} = 0 \cdot a^{-2} = 0$ ,contradição .

Nota para quaisquer $\alpha \in \mathbb{R} , \alpha \cdot 0 = 0$ pois , $\alpha \cdot 0 = \alpha \cdot (0+0) = \alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0$ .

Alternativamente ,pelo elemento neutro aditivo

$a = a + 0 = a + a^2 = a + a\cdot a = a (1+a)$ . Daí segue pela unicidade do elemento neutro da multiplicação que

que novamente por unicidade ,desta vez do que resulta .