Tetraedro - Motivo que os vértices formam base e coordenadas

por **rochadapesada** » Sáb Dez 14, 2013 21:29

a letra "a", eu respondi que, como ele forma um tetraedro, eles (os vetores) tem que ser LI e portanto formam uma base (Não sei se estou certo)

a "b" não conseguir desenvolver

por **Russman** » Sáb Dez 14, 2013 23:54

Sim. Um conjunto de vetores é base de um espaço se, e somente se, este conjunto é LI e GERA o espaço. Isto é, os vetores desse espaço se escrevem de FORMA ÚNICA como combinação linear dos vetores da base.

Exemplo: Por que que $\left \{ (0,1),(1,0) \right \}$ gera o $\mathbb{R}^2$ ?

Gera poque o conjunto é LI( a solução (a_1,a_2)

de

é apenas

) e existe apenas um par de números reais (a_1,a_2)

tais que um vetor v = a_1(0,1) + a_2(1,0)

pertença a $\mathbb{R}^2$ . É fácil de mostrar. Suponha que v = a_1(0,1) + a_2(1,0) = b_1(0,1) + b_2(1,0)

. Assim,

Mas, como o conjunto é LI a única solução possível dessa equação é a_1-b_1 = 0 = a_2-b_2

de modo que a_1=b_1

e

. Portanto, o vetor se escreve de forma única.

por **rochadapesada** » Dom Dez 15, 2013 00:20

Estou dando geometria analítica, não cheguei em álgebra linear ainda :/ ... Ai essa questão é para responder com geometria analítica

por **Russman** » Dom Dez 15, 2013 00:28

Qual a definição de base que te apresentaram?

por **rochadapesada** » Dom Dez 15, 2013 00:37

O básico que 3 vetores tem que ser LI, que a norma de u é a raiz de a1^2+a2^2+a3^2 apenas isso... peguei do livro tratamento vetorial...

por **Russman** » Dom Dez 15, 2013 02:42

Isso não é suficiente e nem necessário pra definir base.

por **e8group** » Dom Dez 15, 2013 11:03

Define-se Base na álgebra linear( vide livro http://toandaihoc.files.wordpress.com/2 ... lgebra.pdf página 41 ) da seguinte forma :

" Definition. Let V be a vector space. A basis for V is a linearly inde
pendent set of vectors in V which spans the space V. The space V is finite
dimensional if it has a fim:te basis."

Entretanto há um resultado A.L. que diz se

é um espaço vetorial de dimensão finita,digamos

,então qualquer subconjunto de

linearmente independente cuja cardinalidade é

constitui-se uma base para

.

Como em G.A. em geral trabalhamos no $\mathbb{R}^n$ ( máximo n = 3) , $\mathbb{R}^n$ é um espaço vetorial de dimensão finita que és

.Desta forma podemos definir base utilizando o resultado acima . De acordo com o livro de G.A . o qual já mencionei , lá defini-se base p/ V^3 como tripla ordenada $E = (\vec{e_1} ,\vec{e_2} ,\vec{e_3} ,) L.I.$ .

por **Russman** » Dom Dez 15, 2013 14:18

santhiago escreveu:" Definition. Let V be a vector space. A basis for V is a linearly inde
pendent set of vectors in V which spans the space V. The space V is finite
dimensional if it has a fim:te basis."

Entretanto há um resultado A.L. que diz se é um espaço vetorial de dimensão finita,digamos ,então qualquer subconjunto de linearmente independente cuja cardinalidade é constitui-se uma base para .

espaço

Perfeito. A base é um conjunto LI que gera o espaço. Veja que se o conjunto é LI e subconjunto do espaço então este pode ser uma base.