[Logaritmo] - Dúvida na resolução

por **mota_16** » Dom Dez 08, 2013 19:43

Pessoal, por favor alguém consegue encontrar meu erro!

A questão:
Sejam a e b números reais tais que $1<a<b<{a}^{2}$ . Se $x=log_{a}{b}$ , $y=log_{b}{a}$ , $z=log_{a}{ab}$ e $w=log_{b}{\frac{b}{a}}$ então:
a) w<y<x<z

b)

c)

d)

e)

Gabarito: A

Minha resolução: $x=log_{a}{b}$ $\Rightarrow {a}^{x}=b$ (1)
$y=log_{b}{a}$ $\Rightarrow {b}^{y}=a$ (2)

Substituindo (1) em (2):

${\left({a}^{x} \right)}^{y} = a \Rightarrow xy = 1$ ${\left({a}^{x} \right)}^{y} = a \Rightarrow xy = 1 \Rightarrow x=\frac{1}{y}$
$z=log_{a}{ab}$ $\Rightarrow log_{a}{a}+log_{a}{b}\Rightarrow z = 1 + x$
$w=log_{b}{\frac{b}{a}}$ $\Rightarrow log_{b}{b}-log_{b}{a}\Rightarrow w = 1 - y$

Assim, se x = 3, teríamos y = 1/3; z = 4; w = 2/3 ou ainda,
se x = 4; y = 1/4; z = 5; w = 3/4

Ou seja, y < w < x < z (alternativa d)

Fiz uma planilha no Excel que confirma o gabarito (alternativa A). Queria entender onde errei.

Grato.

por **Pessoa Estranha** » Dom Dez 08, 2013 20:38

Olá ! Muito bom o exercício ! E, na verdade, não há nada de errado na sua resolução. Ocorreu apenas um problema no final; é o seguinte:

Observe que, ao considerar x = 3 ou x = 4, você não satisfez a condição de

mota_16 escreveu: $1<a<b<{a}^{2}$ .

Note que, tomando x = 3, temos: ${a}^{3} = b$ , o que, pela condição citada acima, está errado. Assim, testando vários valores, temos que um x que satisfaz aquela desigualdade é, por exemplo, x = 3/2. Assim, temos: ${a}^{\frac{3}{2}} = b$ , fato que respeita a condição e nos leva a alternativa A. Confira!

Entendeu?

Se não, pode perguntar...

:y:

por **e8group** » Dom Dez 08, 2013 20:54

Seja a função $f: (0,+\infty) \mapsto \mathbb{R}$ definida por f(x) = log_b(x)

para algum

fixado (que cumpre com a desigualdade dada) .Como esta função admite inversa à esquerda ela é injetora (pois , se h(x) = b^x

, tem-se $( h \circ f)(x) = h(f(x)) = b^{log_b(x)} = x$ ) e assim ela é estritamente monótona (estritamente crescente ou estritamente decrescente ) .Como b > 1