Limite simples com 1 variável

por **RenanDias** » Sáb Nov 02, 2013 19:47

Olá de novo pessoal. Bom, eu estou com uma dúvida em um limite aparentemente simples. Eu consegui fazer o limite mas ao jogar no Wolfram a resposta deu diferente.

No que eu poderia ter errado?

Segue o que eu fiz:

$\lim_{x->1} \frac{\sqrt[]{x} - x^2}{1 - \sqrt[]{x}}$

1- Multipliquei pelo conjugado do denominador:

$\lim_{x->1} \frac{\sqrt[]{x} - x^2}{1 - \sqrt[]{x}}. \frac{1+\sqrt[]{x}}{1+\sqrt[]{x}}$

$\lim_{x->1} \frac{\sqrt[]{x}+x-x^2-{x}^{3/2}}{1-x}$

$\lim_{x->1} \frac{\sqrt[]{x}-{x}^{3/2}+x(1-x)}{1-x}$

Assumindo 1-x diferente de 0:

$\lim_{x->1} \sqrt[]{x}-{x}^{3/2}+x$

$\lim_{x->1} \sqrt[]{x}-{x}^{3/2}+x=1$

No Wolfram isso deu 3. Como pode?

por **e8group** » Sáb Nov 02, 2013 20:59

Parece que cometeu um erro após assumir que (x-1) é diferente de zero .Esta nova nova expressão obtida ao dividir por (x-1) não condiz com a expressão anterior ,por favor revise .

Tenho uma dica :

Observe primeiramente que o limite apresenta uma forma indeterminada " 0/0 " ,isto por que o número

é raiz de $p(x) = \sqrt{x} - x^2$ e de $q(x) = 1 - \sqrt{x}$ , logo como p,q

são contínuas p/ todo ponto de seu domínio, é natural que q(x),p(x)

tendem a zero quando

se aproxima de

o quanto queremos .

Em seguida , basta notar que todo número real x > 0

pode ser escrito como $(\sqrt{x})^2$ . Devido a este resultado teremos que

$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x})^4}{1 - \sqrt{x}} = \sqrt{x} \frac{ 1- (\sqrt{x})^3}{1 - \sqrt{x}}$ .

Agora tome $\sqrt{x} = u$ e fatore 1 - u^3

. Tente concluir .

por **RenanDias** » Dom Nov 03, 2013 13:21

Muito obrigado pela dica, cara, eu realmente não estava vendo isso.

Agora deixa eu lhe perguntar uma coisa:

Só posso trabalhar com $\sqrt[]{x^2}=x$ apenas para x>0

certo?

Eu continuei a conta e cheguei ao resultado esperado, mas quando eu substituir $\sqrt[]{x}=u$ em

$\lim_{u->1} 1 + \lim_{u->1} u + \lim_{u->1} u^2$

chegarei a:

$\lim_{x->1} 1 + \lim_{x->1} \sqrt[]{x} + \lim_{x->1} x$

É isso?

Consegui chegar a resposta correta mas não sei se as contas estão corretas.

por **e8group** » Dom Nov 03, 2013 13:54

Sim , só podemos ter a igualdade $\sqrt{x^2} = x$ se $x \geq 0$ ,se tivéssemos x < 0

, teríamos $\sqrt{x^2} =- x$ é a definição do módulo ,tendo em vista que $|x| = \sqrt{x^2}$ . Porém sabemos que ,
(|x|)^2 = x^2

, pois

é igual a uma das possibilidades

ou

e

. Então , $|x| = \sqrt{|x|^2} = \sqrt{|x|\cdot |x|} = \sqrt{|x|} \cdot \sqrt{|x|} = (\sqrt{|x|} )^2$ , foi este resultado que usei ,com $x \geq 0$ ,temos $x = (\sqrt{x} )^2$ .

As suas contas em diante estão corretas .