Álgebra cruel

por **Cleyson007** » Qui Ago 22, 2013 23:00

Considere o grupo $(\mathbb{Z}_{6},+)$ e o subconjunto $J=(\overline{0},\overline{2},\overline{4})$ . Mostre que

é um subgrupo de $\mathbb{Z}_{6}$ .

Sei que para que J seja subgrupo de Z6, sei que J também deve ser um grupo que satisfaz a operação trabalhada nesse exercício. Mas não consigo mostrar o que se pede *-)

Alguém sabe resolver?

por **Renato_RJ** » Qui Ago 22, 2013 23:55

Cleyson007 escreveu:Considere o grupo $(\mathbb{Z}_{6},+)$ e o subconjunto $J=(\overline{0},\overline{2},\overline{4})$ . Mostre que é um subgrupo de $\mathbb{Z}_{6}$ .

Sei que para que J seja subgrupo de Z6, sei que J também deve ser um grupo que satisfaz a operação trabalhada nesse exercício. Mas não consigo mostrar o que se pede

Alguém sabe resolver?

Para que J seja subgrupo de $\mathbb{Z}_6$ , temos que:

1 - J possui o elemento neutro

2 - $\forall a,b \in J$ temos $a\cdot b \in J$

3 - Para todo $a \in J$ existe $a^{-1} \in J$

Bem, para 1 temos o $\overline{0}$ pois a operação é de soma, para 2 temos:

$\overline{2} + \overline{4} = \overline{6} = \overline{0} \in J$

Então o elemento inverso de $\overline{2}$ é o $\overline{4}$ , logo temos o item 3.

Abraços...

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 00:00

Renato, acho que a única condição não é somente essa que H também seja um grupo com a operação de G..

Acha que é só isso?

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 00:07

Segundo o livro Introdução à Álgebra do Adilson Gonçalves (Projeto Euclides - SBM), página 126:

"Proposição 1. Seja G um grupo e H um subconjunto de G. AS seguintes condições são equivalentes:

a) H é um subgrupo de G

b)
i) $e \in H$
ii) $\forall a,b \in H$ tem-se $ab \in H$ (aqui dizemos que H é fechado para a operação de G)
iii) $\forall a \in H$ tem-se $a^{-1} \in H$

c) $H \neq 0$ e $\forall a,b \in H$ tem-se $ab^{-1} \in H$ "

Bem, parti dessa proposição, se estou errado, me perdoe....

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 00:13

Boa noite Renato!

Amigo, muito obrigado :y:

Consegui visualizar.. Realmente basta provar as condições!

Abraço,

Cleyson007

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 00:17

Renato,

Sem querer abusar de sua boa vontade, me ajuda nessa outra por favor:

Considerando esse mesmo exercício, verifique se

é ou não é um subgrupo normal $\mathbb{Z}_{6}$ .

Obrigado.

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 00:53

Cleyson007 escreveu:Renato,

Sem querer abusar de sua boa vontade, me ajuda nessa outra por favor:

Considerando esse mesmo exercício, verifique se é ou não é um subgrupo normal $\mathbb{Z}_{6}$ .

Obrigado.

Seja $g \in G$ e $h \in H$ onde H é subgrupo de G (dizemos $H \leq G$ ), para que H seja subgrupo normal de G ( $H \trianglelefteq G$ ) temos que provar que:

$g H g^{-1} \in H$ Para a operação.

Então tomemos os seguintes elementos $\overline{1} \in \mathbb{Z}_6$ e $\overline{5} \in \mathbb{Z}_6$ e seja $\overline{4} \in J$ , logo:

$\overline{1} + \overline{4} + \overline{5} = \overline{4} \in J$ Lembre-se que a operação soma é comutativa nos inteiros.

Faça isso para todos os elementos do grupo ou generalize (veja "a cara" dos elementos do grupo e do subgrupo e utilize a propriedade de subgrupo normal para demonstrar).

Generalizando:

Sejam $a, a^{-1} \in G$ e $j \in J$ , logo:

Portanto, J é subgrupo normal de G.

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 09:56

Renato,

e se me fosse pedido as classes laterais de J?

Obrigado.

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 14:44

Cleyson007 escreveu:Renato,

e se me fosse pedido as classes laterais de J?

Obrigado.

Existem duas classes laterais a saber: à esquerda e à direita, abaixo coloco a definição para a classe à esquerda :

$a \oplus J = \{ a \oplus j ; j \in J \}$

Como $J = \{ \overline{0}, \overline{2}, \overline{4} \}$ , vamos pegar cada elemento de $\mathbb{Z}_6$ e somar (pois a operação do grupo é a soma) ao conjunto J, veja:

$\overline{0} + J = J + \overline{0} = \{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4} \}$

$\overline{1} + J = J + \overline{1} = \{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{5} \}$

$\overline{2} + J = J + \overline{2} = \{ \overline{2}, \overline{4}, \overline{0} \}$

$\overline{3} + J = J + \overline{3} = \{ \overline{3}, \overline{5}, \overline{1} \}$

$\overline{4} + J = J + \overline{4} = \{ \overline{4}, \overline{0}, \overline{2} \}$

$\overline{5} + J = J + \overline{5} = \{ \overline{5}, \overline{1}, \overline{3} \}$

Repare que fiz para as duas classes pois $\mathbb{Z}_6$ é abeliano (isto é, $a \oplus b = b \oplus a$ ).

Abraços.

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 16:10

Renato, e se fosse pedido para comentar essa afirmação: "O conjunto $\frac{\mathbb{Z}_{6}}{J}$ é um grupo". Como resolver?

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 22:59

Cleyson007 escreveu:Renato, e se fosse pedido para comentar essa afirmação: "O conjunto $\frac{\mathbb{Z}_{6}}{J}$ é um grupo". Como resolver?

Sim, é verdade pois J é um subgrupo normal de $\mathbb{Z}_6$ , portanto $\frac{\mathbb{Z}_{6}}{J}$ é um grupo quociente com a operação do grupo $\mathbb{Z}_6$ . Isso é uma proposição, para saber mais sobre ela consulte o livro Introdução à Álgebra do autor Adilson Gonçalves - SBM.

Abraços...

por **Renato_RJ** » Sáb Ago 24, 2013 02:03

Refiz o meu comentário sobre as classes laterais solicitadas, como eu tinha explicado talvez não fique muito claro como achá-las. Agora acho que está mais claro.

[ ]'s

por **Cleyson007** » Sáb Ago 24, 2013 11:12

Agora ficou mais fácil entender :y:

Obrigado Renato.. Você tem me ajudado bastante!!!

Abraço,

Cleyson007

por **Cleyson007** » Sáb Ago 24, 2013 19:37

Boa noite Renato!

Sabe se encontro para baixar o livro Introdução à Álgebra do Adilson Gonçalves (Projeto Euclides - SBM)? Ou ebook do livro?

Agradeço,

Cleyson007

por **Renato_RJ** » Sáb Ago 24, 2013 21:44

Cleyson007 escreveu:Boa noite Renato!

Sabe se encontro para baixar o livro Introdução à Álgebra do Adilson Gonçalves (Projeto Euclides - SBM)? Ou ebook do livro?

Agradeço,

Cleyson007

Não duvido que tenha, aproveite e pesquise Álgebra Moderna do Hygino e Iezzi (tem diversos exemplos ao contrário do Adilson). O livro do Adilson você pode comprar por R$ 25,00 na SBM (eles entregam pelo correio, logo chegam ao Brasil todo).

Abraços..