Sequência

por **chronoss** » Qui Jul 18, 2013 13:48

Considere a sequência (a?) definida por : $a_{i}\: =\: \, \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}$

Mostre que (a?) é uma PG e determine seu termo geral.

Gabarito : $a_{n}\: =\: \, \frac{3}{2}\, \cdot \, \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}\: \Rightarrow \: q\: =\: \frac{1}{3}$

Obs: Não entendi o raciocínio usado para demonstrar que se trata de uma PG, e como determinar o termo geral.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 15:31

Não seria $a_i=\displaystyle\sum_{n=1}^{i}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ ?

por **chronoss** » Qui Jul 18, 2013 15:43

Nops.

por **Russman** » Qui Jul 18, 2013 15:52

É fácil de notar que é uma PG pois o próximo termo é igual ao anterior multiplicado por uma contante que, no caso, é $\frac{1}{3}$ . O termo geral será sempre da forma

$a_n = a_1 . q^{n-1}$

de modo que

$a_n =\frac{1}{3} . (\frac{1}{3})^{n-1} = (\frac{1}{3})^n$

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 15:54

Tem algo errado aí.

Se realmente for $a_i=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ , todos os termos da sequência vão ser iguais a:

$\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 16:01

Russmann, se olhares com mais cuidado para a definição de a_i

, verás que todos os termos serão iguais. Podemos considerar como uma PG, mas ela terá razão

.

Chronos, não seria $a_i=\displaystyle\sum_{n=i}^\infty \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ ?

por **Russman** » Qui Jul 18, 2013 16:06

Está confuso quanto ao que o exercício pede. Eu imaginei que a definição fosse

$a_i = \sum_{n=1}^{\infty }a_n$

e, daí, como o exercício fala sobre a_n

e não

, é notável que a_n

seja uma PG.

Até porque a_i

, na forma que aparece, não é uma sequência e sim uma série.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 16:08

Russmann, o

na definição de a_i

não tem relação nenhuma com o

que aparece em a_n

. São apenas variáveis, sem relação.
Poderíamos dizer, para evitar confusão, que:

$a_i=\displaysyle\sum_{k=1}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^k$

Apesar de eu achar que:

$a_i=\displaysyle\sum_{k=i}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^k$

Realmente a_i

não é uma sequência, é uma série, mas não deixa de ser um TERMO da sequência (a_n)

, ou seja, cada TERMO da sequência (a_n)

é uma série.

por **Russman** » Qui Jul 18, 2013 16:13

MateusL escreveu:Russmann, o na definição de não tem relação nenhuma com o que aparece em . São apenas variáveis, sem relação.
Poderíamos dizer, para evitar confusão, que:

$a_i=\displaysyle\sum_{k=1}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^k$

Apesar de eu achar que:

$a_i=\displaysyle\sum_{k=i}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^k$

Isto é você quem está dizendo.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 16:18

Não vês que na definição de a_i

, a variável

assume todos os valores inteiros de

até o infinito?
Escreveu-se (a_n)

porque essa é a notação de sequência, indicando que os termos serão $a_1,\ a_2, a_3,...$ . Não há ligação entre esses

, eles apenas representam quantidades que variam.

E volto a dizer:

Realmente a_i

não é uma sequência, é uma série, mas não deixa de ser um TERMO da sequência (a_n)

, ou seja, cada TERMO da sequência (a_n)

é uma série.

por **Russman** » Qui Jul 18, 2013 16:18

MateusL escreveu:Realmente não é uma sequência, é uma série, mas não deixa de ser um TERMO da sequência , ou seja, cada TERMO da sequência é uma série.

Pode ser, realmente. Mas tu deve concordar comigo que o enunciado do problema não nos faz constatar isso claramente.

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 16:20

Com certeza o enunciado está confuso, mas tens que concordar comigo que, da forma que está, todos os termos serão iguais, porque a expressão que determina no termo a_i

independe do valor de

.

Sendo assim, se resolvêssemos conforme está no enunciado, encontraríamos o termo geral constante e igual a $\dfrac{1}{2}$ .

por **Russman** » Qui Jul 18, 2013 16:23

MateusL escreveu:Com certeza o enunciado está confuso, mas tens que concordar comigo que, da forma que está, todos os termos serão iguais, porque a expressão que determina no termo independe do valor de .

Sendo assim, se resolvêssemos conforme está no enunciado, encontraríamos o termo geral constante e igual a $\dfrac{1}{2}$ .

Ok, não estou duvidando que a_i

seja constante pois , obviamente, a série é convergente e independente de

. Eu estou mais preocupado com o sentido do enunciado. kk

por **MateusL** » Qui Jul 18, 2013 16:29

Vou supor que o correto seja:

$a_i=\displaystyle\sum_{n=i}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$

Então teremos:

$a_{i+1}=\displaystyle\sum_{n=i+1}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\sum_{n=i+1}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\sum_{n=i}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}=\dfrac{1}{3}\cdot a_i$

Portanto a razão da PG é $q=\dfrac{1}{3}$

Além disso:

$a_0=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$

Enão, como $a_n=a_0\cdot q^n$ :

$a_n=\dfrac{3}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$

por **Russman** » Qui Jul 18, 2013 16:34

É, parece que, de acordo com o gabarito,

$a_i = \sum_{n=i}^{\infty }\left ( \frac{1}{3} \right )^n$

faz mais sentido.

Vamos esperar o autor do tópico se manifestar.

por **chronoss** » Qui Jul 18, 2013 16:54

A discussão se estendeu muito rapidamente , não li todos os comentários ainda mas , vejamos se posso ajudar , a questão inclui 3 letras para responder , mostrar que (an) é PG e determinar o termo geral é a letra b) (e digitei exatamente como esta aqui no livro : Noções de matemática vol. 2 , exercícios suplementares II , questão 17 ) .

A letra a) pede para determinar (a1) , (a2) e (a3) , cujo gabarito é : (1/2) ,(1/6) e (1/18) , respectivamente .

A letra c) pede justamente para calcular : $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ cujo gabarito é (3/4)

Me desculpem não ter postado a) e c) , geralmente em fóruns não é permitido atolar um post com questões , então...

Obs: tinha pensado também que era estacionária, questão estranha.