[Derivadas Parciais e Multiplicadores de Lagrange]

por **Ronaldobb** » Sáb Dez 15, 2012 20:02

Boa noite. Não estou conseguindo resolver este problema envolvendo Multiplicadores de Lagrange:

5. O lucro mensal total de uma empresa obtido na produção e venda de x centenas de termostatos mecânicos e y unidades de termostatos eletrônicos é dado pela função:

$P(x,y) = -\frac{1}{8}x²-\frac{1}{2}y²-\frac{1}{4}xy+13x+40y-280$

onde

é o lucro em centenas de reais. Se a produção dos termostatos está condicionada a um total de 4000 unidades por mês, quantas unidades de cada modelo a empresa deveria fabricar para obter o maior lucro possível? Qual é o máximo lucro mensal? (R: R$ 52.600,00) Segundo a professora a resposta para o máximo lucro mensal é R$ 52.600,00

Vejam minhas contas:

$F(x,g,\lambda)=P(x,y)-\lambda[g(x,y)]$

g(x,y)=x+y-4000

$F(x,y,\lambda)=-\frac{1}{8}x²-\frac{1}{2}y²-\frac{1}{4}xy+13x+40y-280-\lambda(x+y-4000)$

$Fx=0 [tex]Fy=0 [tex]F\lambda=0 [tex]\frac{\alpha(F)}{\alpha(x)}=0$
$\frac{\alpha(F)}{\alpha(y)}=0$
$\frac{\alpha(F)}{\alpha(\lambda)}=0$

As derivadas parciais ficam assim:

$Fx=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}y+13-\lambda=0$
$Fy=-y-\frac{1}{4}x+40-\lambda=0$
$F\lambda=-(x+y-4000)=0$

Resolvendo o sistema pra achar

e

:

$-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}y+13=-y-\frac{1}{4}x+40$

$y-\frac{1}{4}y=40-13$

$\frac{3}{4}y=27, y=\frac{27.4}{3}$

y=36

Substituindo

e

na função lucro $P(x,y)=-\frac{1}{4}x²-\frac{1}{2}y²-\frac{1}{4}xy+13x+40y-280$

Temos: P(3964;36)=-1.947794,00

MUITO DIFERENTE DO RESULTADO ACHADO PELA PROFESSORA: R$ 52.600,00

Poderiam me ajudar em ver onde errei? Por favor?

por **Ronaldobb** » Sáb Dez 15, 2012 20:04

Saiu errado a fórmula do lucro!

A correta é esta aqui:

$P(x,y)=-\frac{1}{8}x²-\frac{1}{2}y²-\frac{1}{4}xy+13x+40y-280$

por **Ronaldobb** » Sáb Dez 15, 2012 20:07

A fórmula do lucro é esta:

P(x,y) = -1/8x² - 1/2y² - 1/4xy + 13x + 40y - 280

Não sei por que está aparecendo ess "A" angulo na minha equação!

por **young_jedi** » Sáb Dez 15, 2012 20:59

veja que no enunciado ele diz:

5. O lucro mensal total de uma empresa obtido na produção e venda de x centenas de termostatos mecânicos e y unidades de termostatos eletrônicos é dado pela função:

então quando ele diz que o total de unidades é 4000 voce tem

100.x+y=4000