Interpretação dos Monômios

por **Jhenrique** » Sáb Nov 10, 2012 18:57

Comecei a relacionar todas as operações básicas e tentar compreedê-las, foi então que eu entendi de fato o que significa a parte literal de um monômio, ele é uma grandeza, na óptica da geometria, é um segmento de reta, logo, possui comprimento definido. Então, o produto de um segmento

por um

é a área

, porém, como o assunto é comprimento e comprimento é grandeza vetorial, pensei se o segmento

e o

, na verdade, não são vetores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , respectivamente. Essa é a 1ª dúvida.

Em caso positivo, então porque o produto entre 2 vetores é diferente do produto entre 2 segmentos?
Em caso negativo, então o que vem a ser um segmento de comprimento

? É uma grandeza que cuja direção e sentido não importa, sendo importante apenas a magnitude, ou seja, é uma grandeza escalar?

2ª) Como posso diferenciar escalar de escalar? Em G.A., estuda-se o produto de um vetor (como a força, p ex) por um escalar (coeficente). Mas também existe o produto de um escalar (como a temperatura, p ex) por um escalar (coeficente), neste caso, como posso distinguir um do outro se eles recebem o mesmo nome?

Outro exemplo: x^2+8x+16

, aqui o

não é coeficente, o coeficente, na verdade, é

, e a parte literal é $4\times x$ ,

dá a entender que está sendo somado

segmentos de medida

a uma área de $x\times x$ , o que não faz sentido, pois medida linear e quadrática são de gêneros diferentes.

E quanto a seguinte equação: 9+24+16

, será que esses números representam a soma de áreas ou a soma de comprimentos ou a soma de coeficientes? Que me dizem?

Obg!

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 10, 2012 20:04

Jhenrique escreveu:Comecei a relacionar todas as operações básicas e tentar compreedê-las, foi então que eu entendi de fato o que significa a parte literal de um monômio, ele é uma grandeza, na óptica da geometria, é um segmento de reta, logo, possui comprimento definido. Então, o produto de um segmento por um é a área , porém, como o assunto é comprimento e comprimento é grandeza vetorial, pensei se o segmento e o , na verdade, não são vetores $\vec{x}$ e $\vec{y}$ , respectivamente. Essa é a 1ª dúvida.

Em caso positivo, então porque o produto entre 2 vetores é diferente do produto entre 2 segmentos?
Em caso negativo, então o que vem a ser um segmento de comprimento ? É uma grandeza que cuja direção e sentido não importa, sendo importante apenas a magnitude, ou seja, é uma grandeza escalar?

Sim, é uma grandeza escalar. Apenas é necessário comprimento para caracterizar um segmento.

Jhenrique escreveu:2ª) Como posso diferenciar escalar de escalar? Em G.A., estuda-se o produto de um vetor (como a força, p ex) por um escalar (coeficente). Mas também existe o produto de um escalar (como a temperatura, p ex) por um escalar (coeficente), neste caso, como posso distinguir um do outro se eles recebem o mesmo nome?

Novamente, você quer misturar física e matemática fazendo os dois errados. Não se diferencia escalar de escalar, pelo menos se eles pertencerem ao mesmo corpo (termo da álgebra abstrata). Um corpo é um conjunto com duas operações que satisfazem tudo que conhecemos: adição onde todo elemento tem inverso, existe elemento neutro, etc, e multiplicação para todo elemento não-nulo, com elemento identidade, associatividade, comutatividade, etc. De forma simples, exemplos de corpos são os racionais $\mathbb{Q}$ , os reais $\mathbb{R}$ e os complexos $\mathbb{C}$ . Os inteiros $\mathbb{Z}$ formam um anel, ou seja, não existe inverso multiplicativo para todo elemento. Inclusive, não é necessário nem identidade, associatividade e comutatividade, apenas a adição usual e a distributiva pela esquerda e pela direita.

Agora, o que você está falando envolve física, pois envolve unidades. Ora, normalmente trabalha-se com unidades como se trabalha com números normalmente, onde você só pode somar e subtrair mesmas unidades, porém é possível multiplicar e dividir unidades diferentes. Quando multiplicamos uma quantidade física por um número adimensional, normalmente este pode ser interpretado como uma dilatação ou contração da quantidade dita. Porém esta é uma interpretação física, não matemática.

Jhenrique escreveu:Outro exemplo: , aqui o não é coeficente, o coeficente, na verdade, é , e a parte literal é $4\times x$ , dá a entender que está sendo somado segmentos de medida a uma área de $x\times x$ , o que não faz sentido, pois medida linear e quadrática são de gêneros diferentes.

E quanto a seguinte equação: , será que esses números representam a soma de áreas ou a soma de comprimentos ou a soma de coeficientes? Que me dizem?

Obg!

Começou, novamente, suas interpretações erradas. Os números que acompanham as potências são sempre os coeficientes, por definição. A "parte literal" é sempre a variável, por ser uma letra. Se você quer interpretar (x+4)^2

, pense que você tem dois quadrados de lados

e 4, respectivamente. A área resultante do quadrado juntando-se ambos terá a área do primeiro, x^2

, mais a área do segundo,

, mais um pedaço que é equivalente a

quando medido. Veja como a sua interpretação física falha gravemente pelo fato de você ignorar unidades e não ter regras consistentes para suas conclusões.

Soma de números é um número, simplesmente. Ou, nos termos acima, soma de escalares é um escalar. Sem você atribuir unidades, não é possível tirar significado desta soma. Como já disse anteriormente, só podemos somar ou subtrair unidades iguais, então se o primeiro for peso, o segundo tempo e o terceiro comprimento esta soma não existe fisicamente.

Como você já perguntou em tópicos anteriores: quer aprender matemática "de verdade"? Pare de atribuir estes significados e estude a coisa de uma forma mais abstrata.

por **Jhenrique** » Sáb Nov 10, 2012 22:18

A própria geometria matemática trabalha com valores ao quadrado e ao cubo sem defenir unidade, não é falha minha, esta é a principal razão deste tópico: na matemática, quando eu vejo um número, eu só sei que ele é um escalar, mais nada, não sei se ele é adimensional, unidimensional, bidimensional, tridimensional ou uma mistura dimensional. É esta disinção dimensional que eu gostaria de saber se posso fazer e como fazer!!!

Outra coisa...

Já percebi que todo escalar não precisa estar associado necessariamente a uma unidade. Mas e o vetor? Todo vetor precisa estar associado necessariamente a uma unidade?

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 10, 2012 22:22

Nenhuma entidade matemática precisa estar associada a unidades.

por **Jhenrique** » Seg Nov 12, 2012 01:49

Estou refletindo em tudo no que você está me dizendo. P ex, eu nunca havia percebido essa lei explicitamente.

MarceloFantini escreveu:só pode somar e subtrair mesmas unidades, porém é possível multiplicar e dividir unidades diferentes.

...

Jhenrique escreveu:E quanto a seguinte equação: , será que esses números representam a soma de áreas ou a soma de comprimentos ou a soma de coeficientes? Que me dizem?

MarceloFantini escreveu:[...]não é possível tirar significado desta soma. Como já disse anteriormente, só podemos somar ou subtrair unidades iguais[...]

Mas tipo... seja x=3

e

, então a soma acima pode ser expressa pela equação x^2+2kx+k^2

ou seja, é a soma de quadrados. Mas vc pode me dizer... "há como é que eu ia saber que vc tinha em mente um quadrado"... Poizé, hj eu já tenho 20 anos de idade, já resolvi muitas equações do 2º grau sem saber que as minhas contas faziam jus a um quadrado. Então eu comecei a perceber que na matemática e na geometria (note que eu não estou falando de física e nem de unidades físicas), os números e as letras podem assumir dimensões implícitas, por exemplo, 25 pode ser 5 ao quadrado. Então Marcelo, foi por isso que eu te perguntei se um escalar possui dimensão e se há alguma maneira de discerní-la com um olhar de raio-x.

por **MarceloFantini** » Seg Nov 12, 2012 05:27

Jhenrique escreveu:Estou refletindo em tudo no que você está me dizendo. P ex, eu nunca havia percebido essa lei explicitamente.
MarceloFantini escreveu:só pode somar e subtrair mesmas unidades, porém é possível multiplicar e dividir unidades diferentes.

...

Esta é uma regra da física.

Jhenrique escreveu:
Jhenrique escreveu:E quanto a seguinte equação: , será que esses números representam a soma de áreas ou a soma de comprimentos ou a soma de coeficientes? Que me dizem?

MarceloFantini escreveu:[...]não é possível tirar significado desta soma. Como já disse anteriormente, só podemos somar ou subtrair unidades iguais[...]

Mas tipo... seja e , então a soma acima pode ser expressa pela equação ou seja, é a soma de quadrados. Mas vc pode me dizer... "há como é que eu ia saber que vc tinha em mente um quadrado"... Poizé, hj eu já tenho 20 anos de idade, já resolvi muitas equações do 2º grau sem saber que as minhas contas faziam jus a um quadrado. Então eu comecei a perceber que na matemática e na geometria (note que eu não estou falando de física e nem de unidades físicas), os números e as letras podem assumir dimensões implícitas, por exemplo, 25 pode ser 5 ao quadrado. Então Marcelo, foi por isso que eu te perguntei se um escalar possui dimensão e se há alguma maneira de discerní-la com um olhar de raio-x.

Justamente pelo seu argumento que eu digo que não assumem dimensões implícitas, por poder ser escrito desta forma. Vamos supor que fosse metros. O que está querendo dizer é que $25 \text{ metros} = (5 \text{ metros})^2 = 25 \text{ metros}^2$ . Não! Não existem dimensões implícitas. Não assuma que existem. Isto está errado e não faz sentido.

por **Jhenrique** » Ter Nov 13, 2012 22:35

As dimensões que eu estou me referindo seria com relação aos expoentes, a não com relação às unidades físicas.

Por exemplo... se vc afirma que a matemática ou os números ou a álgebra não assumuem dimensões, então porque um espaço tridimensional é definido como $\mathbb{R}^3$ ?

por **MarceloFantini** » Qua Nov 14, 2012 07:39

Para responder à esta pergunta, eu sugiro que você estude álgebra linear.

por **Jhenrique** » Ter Jan 01, 2013 17:31

Marcelo, eu queria deixa este tópico quietinho mas não dá, preciso perguntar pra desencargo de consciência!

Você afirmou que:

MarceloFantini escreveu:só pode somar e subtrair mesmas unidades, porém é possível multiplicar e dividir unidades diferentes.

E isso faz muito sentido quando analisamos as equações dimensionais de grandezas que variam segundo este modelo:

$y=0+y+x\frac{dy}{dx}+x^2\frac{d^2y}{dx^2}+...+x^n\frac{d^ny}{dx^n}$

Mas nem todas as grandezas físicas ou abstratas variam conforme este modelo, mas podem variar assim também:

$y=1\times y\times \sqrt[dx]{dy}^x\times \sqrt[dx^2]{d^2y}^{x^2}\times ...\times \sqrt[dx^n]{d^ny}^{x^n}$

E ainda podem variar como a composição desses dois modelos com mais variáveis... mas deixa pra lá...

Enfim, como ficam as regras do jogo para o modelo acima?

É estranho... porque no final das contas fica que $y=y\times y\times y\times ...\times y$ , ou seja: y=y^n

, que irá representar um problema ao substituir algebricamente a grandeza y por seu valor e unidade, então no primeiro membro teremos a unidade^1 e, no segundo, a mesma unidade^n !

Sem contar que o logaritmo entre duas grandezas é o primo da razão entre duas grandezas, no entanto, nunca vi ninguém calcular o logaritmo entre duas grandezas! E também tenho dúvidas de como ficaria a análise dimensional nesses casos.