[Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 19:09

Boa noite a todos.
Estou com dúvida no seguinte exercício:

Dada x cos y = 5

, onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se $\frac{dx}{dt}=-4$ , ache $\frac{dy}{dt}$ quando $y=\frac{1}{3}\pi.$

Gabarito: $\frac{-2}{15}.\sqrt{3}$

Fica claro que é uma função composta e deve-se usar a regra da cadeia, mas eu não consegui resolve-lo.

Primeiro, fico imaginando que como x e y são funções de t, então possíveis formas dessa função seria:

(x cos y)^t

ou

. Pensei certo?

O exercício disse que x e y são funções de t, mas ele forneceu $\frac{dx}{dt}=-4$ e quer a $\frac{dy}{dt}$ . Fico pensando e na minha cabeça deveria ser o contrário, ou seja, $\frac{dt}{dx}$ e $\frac{dt}{dy}$ .
Enfim, fiquei confuso quanto ao exercício... alguém pode me ajudar? Obrigado

por **e8group** » Dom Out 21, 2012 20:06

Não seria $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}acrcos(\theta) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta$ ?

Onde : $\theta = 5x^{-1}$ .

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 20:14

santhiago escreveu:Não seria $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}acrcos(\theta) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta$ ?

Onde : $\theta = 5x^{-1}$ .

Por que deveria ser isso Santhiago?

por **e8group** » Dom Out 21, 2012 20:48

Note que ,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}acrcos(\theta) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta = \frac{-1}{\sqrt{1-\theta^2}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta$ .

Visto que ,

$D_t \theta = 5 D_x (x^{-1}) D_t(x) = \frac{20 }{x^2}$ . Segue que ,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{-20}{x^2\sqrt{1-(5x^{-1})^2}}$ .

Agora quando $x= \pi/3$ , x = 10

.(Faça as contas ) .

Daí ,

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y(x= 10) = \frac{-1}{\sqrt{1-(5(10)^{-1})^2}} \cdot \frac{20 }{10^2} = \frac{-1}{5\sqrt{1 - 2^{-2}}} = \frac{-2}{5\sqrt{3}} = -\frac{2 \sqrt{3}}{15} .$ .

Espero q ajude .

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 22:01

Existe outra resolução: derivação implícita.

Derivando, temos $(x \cos y)' = 5' = 0$ e $(x \cos y)' = x' \cos y + x (- \sin y) \cdot y' = 0$ .

Fazendo $y = \frac{\pi}{3}$ e x' = -4

você chega no resultado. Muito mais fácil que derivar arco-cosseno.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 22:02

Santhiago, infelizmente não me ajudou...
Não entendi da onde você surgiu com arccos

, $\theta$ e etc sendo que o exercício não citou nada disto...

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 22:09

O que ele fez foi o seguinte: $x \cos y = 5 \leadsto \cos y = \frac{5}{x}$ , e aplicando arco-cosseno, função inversa do cosseno, temos $y = \arccos \left( \frac{5}{x} \right)$ . Foi uma resolução complicada demais e nem sempre possível.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 22:18

y = f(x) ?

O que ele fez então foi isolar o y para evitar o uso da derivada implícita.. hm

Marcelo, onde entra o t nessa história toda?

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 22:22

Na minha resolução ou na dele? Na minha já estava implícito, por isso escrevi em termos das derivadas.

por **MrJuniorFerr** » Dom Out 21, 2012 22:52

Marcelo, após fazer a fazer a derivação implícita, cheguei nisso: $-4cos\frac{1}{3}\pi-xsen\frac{1}{3}\pi.y ' = 0$

Ficou faltando achar o valor de x, pra fazer isso é só eu isolar o x em x cos y = 5

, ficando $x=\frac{5}{cosy}$ e depois substituir?