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[Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

[Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 19:09

Boa noite a todos.
Estou com dúvida no seguinte exercício:

Dada x cos y = 5, onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se \frac{dx}{dt}=-4, ache \frac{dy}{dt} quando y=\frac{1}{3}\pi.

Gabarito: \frac{-2}{15}.\sqrt{3}

Fica claro que é uma função composta e deve-se usar a regra da cadeia, mas eu não consegui resolve-lo.

Primeiro, fico imaginando que como x e y são funções de t, então possíveis formas dessa função seria:

(x cos y)^t ou t^x^c^o^s^y. Pensei certo?

O exercício disse que x e y são funções de t, mas ele forneceu \frac{dx}{dt}=-4 e quer a \frac{dy}{dt}. Fico pensando e na minha cabeça deveria ser o contrário, ou seja, \frac{dt}{dx} e \frac{dt}{dy}.
Enfim, fiquei confuso quanto ao exercício... alguém pode me ajudar? Obrigado
Editado pela última vez por MrJuniorFerr em Dom Out 21, 2012 20:17, em um total de 1 vez.
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor e8group » Dom Out 21, 2012 20:06

Não seria \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}acrcos(\theta) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta ?

Onde : \theta = 5x^{-1} .
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 20:14

santhiago escreveu:Não seria \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}acrcos(\theta) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta ?

Onde : \theta = 5x^{-1} .


Por que deveria ser isso Santhiago?
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor e8group » Dom Out 21, 2012 20:48

Note que ,


\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}acrcos(\theta) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta =   \frac{-1}{\sqrt{1-\theta^2}} \cdot  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\theta .


Visto que ,


D_t \theta = 5 D_x (x^{-1}) D_t(x)  =  \frac{20 }{x^2} . Segue que ,




\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y  =  \frac{-20}{x^2\sqrt{1-(5x^{-1})^2}} .




Agora quando x= \pi/3 , x = 10 .(Faça as contas ) .


Daí ,




\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} y(x= 10) = \frac{-1}{\sqrt{1-(5(10)^{-1})^2}} \cdot  \frac{20 }{10^2}   =  \frac{-1}{5\sqrt{1 - 2^{-2}}}  =  \frac{-2}{5\sqrt{3}} =  -\frac{2 \sqrt{3}}{15} . .


Espero q ajude .
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 21, 2012 22:01

Existe outra resolução: derivação implícita.

Derivando, temos (x \cos y)' = 5' = 0 e (x \cos y)' = x' \cos y + x (- \sin y) \cdot y' = 0.

Fazendo y = \frac{\pi}{3} e x' = -4 você chega no resultado. Muito mais fácil que derivar arco-cosseno.
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 22:02

Santhiago, infelizmente não me ajudou...
Não entendi da onde você surgiu com arccos, \theta e etc sendo que o exercício não citou nada disto...
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 21, 2012 22:09

O que ele fez foi o seguinte: x \cos y = 5 \leadsto \cos y = \frac{5}{x}, e aplicando arco-cosseno, função inversa do cosseno, temos y = \arccos \left( \frac{5}{x} \right). Foi uma resolução complicada demais e nem sempre possível.
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 22:18

y = f(x) ?

O que ele fez então foi isolar o y para evitar o uso da derivada implícita.. hm

Marcelo, onde entra o t nessa história toda?
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 21, 2012 22:22

Na minha resolução ou na dele? Na minha já estava implícito, por isso escrevi em termos das derivadas.
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Out 21, 2012 22:52

Marcelo, após fazer a fazer a derivação implícita, cheguei nisso: -4cos\frac{1}{3}\pi-xsen\frac{1}{3}\pi.y ' = 0

Ficou faltando achar o valor de x, pra fazer isso é só eu isolar o x em x cos y = 5, ficando x=\frac{5}{cosy} e depois substituir?
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Re: [Aplicações Derivadas] Dúvida exercício 2

Mensagempor MarceloFantini » Dom Out 21, 2012 23:00

Sim.
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: