Potenciação com Letras

por **Bielto** » Ter Jul 17, 2012 17:52

07. Se $\alpha$ e $\beta$ são dois números reais e $2^{\alpha}$ = m e $2^{\beta}$ = n, então $4^\alpha^-^\beta$ é igual a:

Já tentei mas, pelo visto, eu tenho que saber quanto é $\alpha$ e $\beta$ para depois subtrair $\alpha$ - $\beta$

por **Arkanus Darondra** » Ter Jul 17, 2012 18:16

por **e8group** » Ter Jul 17, 2012 18:25

faça \left(\frac{m}{n}\right)^{2} ,logo obterá 4^{\alpha - \theta}

por **Bielto** » Ter Jul 17, 2012 19:20

Não entendi santhiago.

como você consegue ser tão inteligente?
Eu já assisti todas as vídeo aulas sobre potenciação, já resolvi vários exercícios (só os fáceis) e mesmo assim.
Eu pélo para resolver um exercício, como esse apresentado. Eu já li as teorias em livros, conheço todas as propriedades da potenciaçãoe mesmo assim, continuo burr

por **Arkanus Darondra** » Ter Jul 17, 2012 19:37

Bielto escreveu:Eu já assisti todas as vídeo aulas sobre potenciação, já resolvi vários exercícios (só os fáceis) e mesmo assim.
Eu pélo para resolver um exercício, como esse apresentado. Eu já li as teorias em livros, conheço todas as propriedades da potenciação

Como nas propriedades de potenciação a recíproca é verdadeira, é importante que você, ao estudá-las, pratique-as como tal,
até porque a maioria dos exercícios são assim.

por **DanielFerreira** » Ter Jul 17, 2012 19:43

Olá Bielto,
boa noite!

$4^{\alpha - \beta} =$

$(4)^{\alpha - \beta} =$

$(2^2)^{\alpha - \beta} =$

$2^{2\alpha - 2\beta}$

$2^{2\alpha} \times 2^{- 2\beta} =$

$\frac{2^{2\alpha}}{2^{2\beta}} =$

$\frac{2^{\alpha} \times 2^{\alpha}}{2^{\beta} \times 2^{\beta}} =$

$\frac{m \times m}{n \times n} =$

$\frac{m^2}{n^2}$

Espero ter ajudado!!

por **Arkanus Darondra** » Ter Jul 17, 2012 19:47

Arkanus Darondra escreveu: $4^{\alpha-\beta} = \frac{4^{\alpha}}{4^{\beta}} = \frac{2^{2\alpha}}{2^{2\beta}} = 2^{m-n}$

Outro modo de desenvolver seria:
$\frac{2^{2\alpha}}{2^{2\beta}} = (\frac{2\alpha}{2\beta})^2 = (\frac{m}{n})^2$

por **Bielto** » Ter Jul 17, 2012 20:18

Poxa vida! Deve ser bom ser inteligente. Eu juro que tento pessoal, mas, sou realmente burro.
Valeu pela ajuda.

por **Bielto** » Ter Jul 17, 2012 20:40

Pessoal, $4^{\alpha -\beta}$ = $\left(\frac{4^\alpha }{4^\beta}\right)$ São recíprocas?

por **MarceloFantini** » Ter Jul 17, 2012 20:42

Você não é burro, é apenas a primeira vez que você está vendo o assunto e está se familiarizando com as propriedades. Demora até se acostumar. A persistência é fundamental agora.

por **Bielto** » Ter Jul 17, 2012 20:47

Marcelo, $4^{\alpha -\beta}$ = $\left(\frac{4^\alpha }{4^\beta}\right)$ São recíprocas de qual propriedade?
E por quê? Você multiplicou $2^2^{\alpha}$ x $2^-^{2\beta}$ ? É a recíproca do que? ou de qual propriedade?

por **MarceloFantini** » Ter Jul 17, 2012 20:58

As propriedades de potenciação dizem que $a^{m+n} = a^m \times a^n$ e $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ , sendo que

é um número maior que zero. Normalmente as pessoas aprendem a usar "em um sentido apenas", ou seja, quando tem potências multiplicando elas somam e quando tem potências dividindo subtraem. Isto é reforçado por uma bateria de exercício em que apenas isso é feito.

Porém, é muito importante usar também que quando temos uma potência em soma podemos escrevê-la como produto de potências, e igualmente quando temos uma potência em subtração podemos escrevê-la como divisão de potências. Note que é uma igualdade, então nas condições dadas sempre é válido. Quanto mais cedo você tomar consciência disto, melhor.

Sobre a "reciprocidade", foi usado no sentido que $\frac{4^{\alpha}}{4^{\beta}} \implies 4^{\alpha - \beta}$ , e a recíproca é verdadeira, $4^{\alpha - \beta} = \frac{4^{\alpha}}{4^{\beta}}$ .

No caso $2^{2 \alpha} \times 2^{2 \beta}$ foi primeiro usada a propriedade que $a^{m+n} = a^m \times a^n$ .

por **Bielto** » Ter Jul 17, 2012 21:44

Marcelo, eu estava fazendo esse exercício aqui e surgiu a seguinte dúvida.

Na parte, ${2}^{2a}.{2}^-^{2b} = \frac{2^a^2}{2^2^b}$ o por quê? Que o sinal do b passou para baixo positivo?

Me desculpa ficar te amolando cara, juro que essa é a última pergunta.

por **MarceloFantini** » Ter Jul 17, 2012 22:22

Sim, é verdade que $2^{-2b} = \frac{1}{2^{2b}}$ . Perceba que $2^{2a} \cdot 2^{-2b} = 2^{2a} \cdot \frac{1}{2^{2b}}$ , mas quando multiplicamos uma fração com numerador um por alguma coisa, escrevemos essa alguma coisa dividida pelo denominador, daí $2^{2a} \cdot 2^{-2b} = 2^{2a} \cdot \frac{1}{2^{2b}} = \frac{2^{2a}}{2^{2b}}$ .

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