Funções Dúvida

por **Louis** » Seg Jul 09, 2012 23:56

Olá, já quebrei a minha cabeça de todas as formas possíveis com esta questão. Com o objetivo de mostrar o gráfico da função tirei uma foto.

Agradeço a ajuda.

por **e8group** » Ter Jul 10, 2012 00:28

Oque você tentou ?

Note que $I = (a , 1/4) \in g$ e

isto implica que $g(a) = f(a) = \frac{1}{4}$ ou seja ,basta encontrar o valor para a qual a imagem da função g e f equivale a 1/4 .

Uma vez encontrado o valor para

tal que $f(a) = \frac{1}{4} = 2^{2a+3}$ ,em consequência obterá k .Pois $g(a) = \frac{1}{4} =( \frac{2}{3} )^{2a+3} + k$ . Daí para concluir o exercício basta calcular g(f(-2))

que é equivalente a $g(\frac{1}{2})$ já que $f(-2) = \frac{1}{2}$

por **Louis** » Ter Jul 10, 2012 10:05

Estava tentando isolar o x para depois substituí-lo na função, pelo visto estava me guiando pelo caminho errado. Como faço para encontrar o valor para a qual a imagem da função g e f equivale a 1/4?

por **Russman** » Ter Jul 10, 2012 10:20

por **e8group** » Ter Jul 10, 2012 10:47

$\begin{cases} \frac{1}{4}= 2^{2a+3} \\ \frac{1}{4}= \left(\frac{2}{3} \right )^{2a +3}+k \end{cases}$

Por um lado temos :

$\frac{1}{4}= 2^{-2}=2^{2a+3}$ como temos as bases da igualdade iguais(caso não acredite aplique logaritmo de mesma base em ambos lados da igualdade ) $-2=2a+3 \therefore a = - \frac{5}{2}$ .Entretanto por outro lado:

$\frac{1}{4}= \left(\frac{2}{3} \right )^{2a +3}+k$ ,lembrando que $a = \frac{1}{2}$ ,temos :

$2^{-2} = \left(\frac{2}{3} \right )^{4 }+k$ ,ou seja $k =2^{-2} -\left(\frac{2}{3} \right )^{4 }$ .Daí só calcular g o f (-2)

por **Louis** » Ter Jul 10, 2012 11:22

Santhiago, se de acordo com as funções que você comparou, o resultado do a obtido foi -5/2, por que quando você substituiu este valor para encontrar o k você considerou como sendo 1/2? Obrigado por esclarecer como você chegou até o resultado, se não dissesse que aplicou as bases da igualdade, ficaria perdido. Tentei calcular o gof (-2), mas não creio estar fazendo a conta do jeito certo, isso porque encontrei um intervalo correspondente ao do número 4 e acabo de conferir que a resposta certa é o número 2.

Obrigado Russman por ter postado.

por **e8group** » Ter Jul 10, 2012 12:29

Louis escreveu:Santhiago, se de acordo com as funções que você comparou, o resultado do a obtido foi -5/2, por que quando você substituiu este valor para encontrar o k você considerou como sendo 1/2? Obrigado por esclarecer como você chegou até o resultado, se não dissesse que aplicou as bases da igualdade, ficaria perdido. Tentei calcular o gof (-2), mas não creio estar fazendo a conta do jeito certo, isso porque encontrei um intervalo correspondente ao do número 4 e acabo de conferir que a resposta certa é o número 2.

Oops !

Não sei porque fiz isso (haha) ....

$2^{-2}= \left(\frac{2}{3} \right )^{2(-\frac{5}{2}+3)}+k \Longrightarrow \frac{1}{4}=\left(\frac{3}{2}\right )^{2} + k \Longrightarrow \frac{1}{4}-\left(\frac{3}{2}\right )^{2} =\left(\frac{3}{2}\right )^{2}-\left(\frac{3}{2}\right )^{2} +k \Longrightarrow \frac{1}{4}-\frac{9}{4}= k \therefore k = -2 .$

Assim , temos :

$g(x)= \left( \frac{2}{3}\right )^{2x +3} -2$

Ou seja :

$g(f(-2))= g(1/2) = \left( \frac{2}{3}\right )^{4} -2 = \frac{16}{81} - \frac{162}{81} = - \frac{146}{81} \approx - 1,8$

como $-1,8 \in [-2,-1)$ a resposta é (02) .