[Dúvida] Problema algébrico com derivada

por **Jhonata** » Seg Mai 28, 2012 23:32

Bem galera, ja vou logo agradecendo, pois até aquele que olha já ajuda muito, enfim, me deparei com o seguinte:

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx$

Nota-se claramente uma indeterminação do tipo " $0 * - \infty$ ", então eu transformei o produto em um quociente para aplicar L'Hospital e obtive:

$\lim_{x\to0^+} \frac {lnx} {\sqrt{x}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac {d}{dx}lnx} {\frac {d}{dx}x^\frac{1}{2}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac{1}{x}} {\frac{-1}{2}x^\frac{-3}{2}}$

Tipo, eu pensei em multiplicar o númerador e o denominador por $-2x^\frac{-3}{2}$ , mas sei lá... Tentei e acho que deu errado.

E empaquei aí... :/ Sei que é meio vergonhoso, mas o cérebro já não está trabalhando tão bem há esta hora. x_x
Bem, qualquer ajuda, eu já agradeço!

por **Russman** » Ter Mai 29, 2012 00:00

Jhonata escreveu:Bem galera, ja vou logo agradecendo, pois até aquele que olha já ajuda muito, enfim, me deparei com o seguinte:

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx$

Nota-se claramente uma indeterminação do tipo " $0 * - \infty$ ", então eu transformei o produto em um quociente para aplicar L'Hospital e obtive:

$\lim_{x\to0^+} \frac {lnx} {\sqrt{x}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac {d}{dx}lnx} {\frac {d}{dx}x^\frac{1}{2}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac{1}{x}} {\frac{-1}{2}x^\frac{-3}{2}}$

Tipo, eu pensei em multiplicar o númerador e o denominador por $-2x^\frac{-3}{2}$ , mas sei lá... Tentei e acho que deu errado.

E empaquei aí... :/ Sei que é meio vergonhoso, mas o cérebro já não está trabalhando tão bem há esta hora. x_x
Bem, qualquer ajuda, eu já agradeço!

Você reescreveu a função de forma errada! O correto é

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx \Rightarrow \lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{ln(x)}{\frac{1}{\sqrt[]{x}}}$ ,

que é uma indeterminação do tipo $\frac{- \infty}{\infty}$ . Assim,
$\lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{ln(x)}{\frac{1}{\sqrt[]{x}}} = \lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{{x}^{2}}}=-x=0$ .

por **Jhonata** » Ter Mai 29, 2012 00:14

Russman escreveu:
Jhonata escreveu:Bem galera, ja vou logo agradecendo, pois até aquele que olha já ajuda muito, enfim, me deparei com o seguinte:

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx$

Nota-se claramente uma indeterminação do tipo " $0 * - \infty$ ", então eu transformei o produto em um quociente para aplicar L'Hospital e obtive:

$\lim_{x\to0^+} \frac {lnx} {\sqrt{x}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac {d}{dx}lnx} {\frac {d}{dx}x^\frac{1}{2}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac{1}{x}} {\frac{-1}{2}x^\frac{-3}{2}}$

Tipo, eu pensei em multiplicar o númerador e o denominador por $-2x^\frac{-3}{2}$ , mas sei lá... Tentei e acho que deu errado.

E empaquei aí... :/ Sei que é meio vergonhoso, mas o cérebro já não está trabalhando tão bem há esta hora. x_x
Bem, qualquer ajuda, eu já agradeço!

Você reescreveu a função de forma errada! O correto é

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx \Rightarrow \lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{ln(x)}{\frac{1}{\sqrt[]{x}}}$ ,

que é uma indeterminação do tipo $\frac{- \infty}{\infty}$ . Assim,
$\lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{ln(x)}{\frac{1}{\sqrt[]{x}}} = \lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{{x}^{2}}}=-x=0$ .

Ah, claro!! Que idiotice da minha parte! AHUAHUUA
Por isso não estava conseguindo... Havia esquecido de "notar" isso, bem como eu havia dito... Há esta hora a mente vai parando... huahuhuaa
Mas, então, muito obrigado e tenha uma boa noite!
Abraços!!

por **Jhonata** » Ter Mai 29, 2012 01:27

Jhonata escreveu:
Russman escreveu:
Jhonata escreveu:Bem galera, ja vou logo agradecendo, pois até aquele que olha já ajuda muito, enfim, me deparei com o seguinte:

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx$

Nota-se claramente uma indeterminação do tipo " $0 * - \infty$ ", então eu transformei o produto em um quociente para aplicar L'Hospital e obtive:

$\lim_{x\to0^+} \frac {lnx} {\sqrt{x}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac {d}{dx}lnx} {\frac {d}{dx}x^\frac{1}{2}} = \lim_{x\to0^+} \frac {\frac{1}{x}} {\frac{-1}{2}x^\frac{-3}{2}}$

Tipo, eu pensei em multiplicar o númerador e o denominador por $-2x^\frac{-3}{2}$ , mas sei lá... Tentei e acho que deu errado.

E empaquei aí... :/ Sei que é meio vergonhoso, mas o cérebro já não está trabalhando tão bem há esta hora. x_x
Bem, qualquer ajuda, eu já agradeço!

Você reescreveu a função de forma errada! O correto é

$\lim_{x\to0+} \sqrt{x}\ lnx \Rightarrow \lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{ln(x)}{\frac{1}{\sqrt[]{x}}}$ ,

que é uma indeterminação do tipo $\frac{- \infty}{\infty}$ . Assim,
$\lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{ln(x)}{\frac{1}{\sqrt[]{x}}} = \lim_{x\rightarrow{0}^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{{x}^{2}}}=-x=0$ .

Ah, claro!! Que idiotice da minha parte! AHUAHUUA
Por isso não estava conseguindo... Havia esquecido de "notar" isso, bem como eu havia dito... Há esta hora a mente vai parando... huahuhuaa
Mas, então, muito obrigado e tenha uma boa noite!
Abraços!!

Opa, espera aí... Mas acho que também tem algo errado no seu argumento:
A derivada de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ não é $- \frac{1}{x^2}$ ... E sim $- \frac{1}{2x^\frac{3}{2}}$ , enfim... Depois de um banho, voltei a questão e acho que consegui resolver; se você não tivesse me dado o toque para aquele meu erro, eu demoraria para ter percebido, enfim, ficou assim:

$\lim_{x\rightarrow{0}^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{-\frac{1x^\frac{3}{2}}{2}}} = \lim_{x\rightarrow{0}^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^\frac{3}{2}}} = \lim_{x\rightarrow{0}^+} \frac{1}{x}*\frac{x^\frac{3}{2}}{-2} = \lim_{x\rightarrow{0}^+} (-2x^-^1)(x^\frac{3}{2})=$

$= \lim_{x\to0^+} -2x^\frac{3}{2}^-^1 = \lim_{x\to0^+} -2x^\frac{1}{2} = \lim_{x\to0^+} -2\sqrt{x} = 0$

Será que estou certo ou tropecei em algo?

por **Russman** » Ter Mai 29, 2012 01:37

Nãaao, tu ta certo! Eu errei na hora de digitar a derivada! Mas, por sorte, daria no mesmo. kk

Só o -2 ali que deveria estar no denominador. Mas tbm, não faz diferença. (:

por **Jhonata** » Ter Mai 29, 2012 01:40

Russman escreveu:Nãaao, tu ta certo! Eu errei na hora de digitar a derivada! Mas, por sorte, daria no mesmo. kk

Bem, a banca da minha faculdade não ia pegar leve com estes nossos erros, mas valeu a pena trabalhar essa questãozinha, que aparentemente é tranquila...
De qualquer forma, muito obrigado mano!!

por **Jhonata** » Ter Mai 29, 2012 01:44

Russman escreveu:Nãaao, tu ta certo! Eu errei na hora de digitar a derivada! Mas, por sorte, daria no mesmo. kk

Só o -2 ali que deveria estar no denominador. Mas tbm, não faz diferença. (:

Tipo... Tu tem razão, porquê eu tirei o -2 do denominador? lol

por **Jhonata** » Ter Mai 29, 2012 01:44

Jhonata escreveu:
Russman escreveu:Nãaao, tu ta certo! Eu errei na hora de digitar a derivada! Mas, por sorte, daria no mesmo. kk

Só o -2 ali que deveria estar no denominador. Mas tbm, não faz diferença. (:

Tipo... Tu tem razão, porquê eu tirei o -2 do denominador? lol

Ahh pô, eu elevei à -1.