Círculo trigonométrico

por **Ananda** » Sex Fev 29, 2008 10:56

Bom dia!
O exercício é o seguinte:

Marcando no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos da forma $k.{50}^{0}$ , k inteiro, obtemos os vértices de um polígono regular cujo número de lados é igual a:

Resposta: 36

Dúvidas:
Meu problema inicial é que não entendi direito o enunciado, $k.{50}^{0}$ é o comprimento do arco?
Sei que os lados e os ângulos são congruentes e que
ai=Si.n

$ai=(n-2).{180}^{0}.n$

O diâmetro do círculo é a diagonal do polígono?
K seria o raio e ${50}^{0}$ o $\alpha$ ?

Grata desde já!

por **admin** » Sex Fev 29, 2008 16:38

Olá Ananda!

Você pode pensar no significado de $k \cdot 50^\circ$ assim:
Marcando o círculo trigonométrico, de $50^\circ$ em $50^\circ$ no mesmo sentido, após

marcações, teremos um polígono regular de

lados.

O caminho é descobrir o ângulo central deste polígono.
Para isso, como

é inteiro, calculamos o resto da divisão de $360^\circ$ por $50^\circ$ , partindo daqui:

$k50^\circ = 360^\circ$

$\begin{tabular}{ll} 360 & \vline 50 \\ \hline 10 & 7 \end{tabular}$

Ou seja, ao darmos uma volta no círculo trigonométrico, marcamos 7 pontos e sobram $10^\circ$ .
Esta sobra é o ângulo central A_o

.
Mas, o ângulo central é igual ao ângulo externo A_e

do polígono:
$A_o = A_e = 10^\circ$

E como os ângulos externos de um polígono regular de

lados têm medidas iguais, sua soma S_e

é (I):
$S_e = k \cdot A_e$

E ainda (II):
$S_e = 360^\circ$

De (I) e (II):

$k \cdot A_e = 360^\circ$

$A_e = \frac{360^\circ}{k}$

$10^\circ = \frac{360^\circ}{k}$

$k = \frac{360^\circ}{10^\circ}$

k = 36

Espero ter ajudado.

por **Ananda** » Sex Fev 29, 2008 16:56

Olá!
Grata! Ajudaste sim...
E reparando nas minhas dúvidas, vejo que meu maior problema é desconhecimento de conceitos importantes!
Uma boa tarde para ti!

por **admin** » Sex Fev 29, 2008 17:09

Na figura colocada anteriormente, O não é o ângulo central.
Precisamos ter uma circunferência relacionada.

Ângulo central de uma circunferência é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.
Segue uma figura como exemplo, onde o ângulo AOB

é um ângulo central da circunferência $\lambda$ de centro

.

: angulo_central.jpg (13.56 KiB) Exibido 8724 vezes

No caso de um polígono regular, seus vértices determinarão os arcos correspondentes do ângulo central.

Boa tarde!

por **Ananda** » Sex Fev 29, 2008 17:11

Olá!
Eu percebi isso depois, por isso que tirei a imagem...
Grata mais uma vez!

por **admin** » Sex Fev 29, 2008 21:00

Olá Ananda!

Além de fazer pela soma dos ângulos externos, outra alternativa é considerar os ângulos internos.

Sendo:

A_o

: ângulo central
A_e

: ângulo externo
A_i

: ângulo interno

Já havíamos visto que:

$A_o = A_e = 10^\circ$

E como:

$A_e + A_i = 180^\circ$

Segue que:

$A_i = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$

E utilizando:

$A_i = \frac{(k-2) \cdot 180^\circ}{k}$

$170k = (k-2) \cdot 180$

17k = 18k-36

Bom final de semana!

por **Ananda** » Sáb Mar 01, 2008 19:54

Olá!
Grata, Fábio!
Ah, eu resolvi fazer um círculo trigonométrico e uma tabela, vou anexar, tudo bem?
Daí caso alguém queira, é só baixar...
Até mais!
E bom final de semana!

por **admin** » Sáb Mar 01, 2008 21:08

Olá Ananda!
OK, obrigado por compartilhar.

Até mais!

por **Ananda** » Seg Mar 03, 2008 17:51

Boa tarde!
Anexei novamente o arquivo, pois hoje vi que estava com um erro.
No círculo, os valores do cosseno estavam trocados, $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ com 0,5 (tanto positivo quando negativo). Já arrumei. Caso alguém tenha baixado, é só baixar o novo arquivo que está corrigido.
Até mais!