Tópico de análise: determinação de campo de quadrado inverso

por **ant_dii** » Qui Dez 01, 2011 03:10

Bom pessoal, este problema não é do ensino médio e nem é muito simples de resolver ( se o fosse eu já teria conseguido).
Terei que apresentá-lo resolvido semana que vem e já tem uns 5 dias que to quebrando a cabeça...
O problema é o seguinte:

Provar que se divF

e

são nulos, então

é um campo de quadrado inverso.

Eu acredito que há um erro no enunciado, que o que realmente vale é a recíproca, pois no caso do enunciado acima podemos ter divF

e

nulos, porém

um campo constante qualquer e não necessariamente (como indica) um campo de quadrado inverso :

Provar que se

é um campo de quadrado inverso, então divF

e

são nulos.

Já tentei de várias formas, até mesmo usando o Teorema de Gauss (Teorema da divergência) e o teorema de Stokes, mas não sei como proceder.
Se o enunciado estiver correto, eu acredito que o problema seja simples de resolver mas queria que me ajudassem a encontrar a melhor resposta...
Desde já agradece quem se disponibilizar.

por **LuizAquino** » Sex Dez 02, 2011 16:37

ant_dii escreveu:Provar que se e são nulos, então F é um campo de quadrado inverso.

ant_dii escreveu:Eu acredito que há um erro no enunciado (...)
podemos ter e nulos, porém F um campo constante qualquer e não necessariamente (como indica) um campo de quadrado inverso (...)

Ok.

ant_dii escreveu:(...) o que realmente vale é a recíproca:
Provar que se F é um campo de quadrado inverso, então e são nulos.

ant_dii escreveu:Já tentei de várias formas, até mesmo usando o Teorema de Gauss (Teorema da divergência) e o teorema de Stokes, mas não sei como proceder.

Se F é um campo de quadrado inverso (em três dimensões), então ele tem o formato:

$F(x,\,y,\,z) = \frac{c}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^\frac{3}{2}}\left(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\right)$ ,

com c uma constante real.

Considerando que $F = \left(F_1,\, F_2,\, F_3\right)$ , temos que:

$F_1 = \frac{cx}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^\frac{3}{2}}$

$F_2 = \frac{cy}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^\frac{3}{2}}$

$F_3 = \frac{cz}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^\frac{3}{2}}$

Calculando o divergente, temos que:

$\textrm{div}\, F = \nabla \cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

Agora calcule as derivadas parciais e efetue a soma. Você irá obter que $\textrm{div}\, F = 0$ .

Calculando o rotacional, temos que:

$\textrm{rot}\, F = \nabla \times F = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\vec{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\vec{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\vec{k}$

Agora calcule as derivadas parciais e efetue as subtrações. Você irá obter que $\textrm{rot}\, F = \vec{0}$ .

por **ant_dii** » Sáb Dez 03, 2011 01:40

Boa noite Luiz...
Obrigado pela disponibilidade...
Só incomodando um pouco novamente, quanto ao primeiro enunciado

Provar que se e são nulos, então F é um campo de quadrado inverso.

o que você me diz? Realmente esta errado ou esta simplesmente incompleto. Do meu ponto de vista esta incompleto sendo então necessário acrescentar que isso vale exceto quando F é constante ou nulo, mas não sei ainda se resolve pois ainda não consegui provar.

Conversei com um professor e ele me mostrou uma identidade interessante vinda do fato de que div F

e

são nulos. Vejamos, como você colocou acima:

$div F = \nabla \cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}=0$

e

$rot F =0 \Rightarrow \frac{\partial F_3}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial z}, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x}, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y}$

Fazendo

$\frac{\partial^2 F_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F_2}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 F_3}{\partial z \partial x}=0$

e

$\frac{\partial^2 F_1}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 F_3}{\partial x \partial z} \quad \mbox{e} \quad \frac{\partial^2 F_2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 F_1}{\partial y^2}$

De onde,

$\frac{\partial^2 F_1}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 F_1}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 F_1}{\partial y^2}=0$

que é a equação de Laplace em três dimensões, que esta estritamente ligada com o conceito de função potencial de campo de quadrado inverso, na verdade esta equação acima é satisfeita pelo campo de quadrado inverso $F=\frac{\textbf{r}}{|\textbf{r}|^3}$ .

E agora o que você acha que devo fazer??
Obrigado desde já.

por **LuizAquino** » Sáb Dez 03, 2011 11:16

ant_dii escreveu:
Provar que se e são nulos, então F é um campo de quadrado inverso.

o que você me diz? Realmente esta errado ou esta simplesmente incompleto.

Do meu ponto de vista esta incompleto sendo então necessário acrescentar que isso vale exceto quando F é constante ou nulo, mas não sei ainda se resolve pois ainda não consegui provar.

Mesmo que F não seja constante, ainda podemos ter o divergente e o rotacional de F nulos, mas de modo que F não seja um campo de quadrado inverso.

Por exemplo, considere $F(x,\, y,\, z\,) = (y+z)\vec{i} + x\vec{j} + x\vec{k}$ . Note que $\textrm{div}\, F = 0$ e $\textrm{rot}\, F = \vec{0}$ , mas F não é constante e não é um campo de quadrado inverso.

ant_dii escreveu:De onde,

$\frac{\partial^2 F_1}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 F_1}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 F_1}{\partial y^2}=0$

que é a equação de Laplace em três dimensões, que esta estritamente ligada com o conceito de função potencial de campo de quadrado inverso, na verdade esta equação acima é satisfeita pelo campo de quadrado inverso $F=\frac{\textbf{r}}{|\textbf{r}|^3}$ .

Note que essa equação também é satisfeita para outros campos F que não são de quadrado inverso. Por exemplo, ela é satisfeita para o mesmo F dado acima: $F(x,\, y,\, z\,) = (y+z)\vec{i} + x\vec{j} + x\vec{k}$ .

por **ant_dii** » Sáb Dez 03, 2011 11:39

Luiz,
Obrigado novamente.

A questão é que de fato a função potencial do campo de quadrado inverso satisfaz a equação acima (equação de Laplace).
Ela tem uma condição sobre sua formulação, a de que a função tem que ser duplamente diferenciável e contínua, ou seja, tem que pertencer ao conjunto das funções de classe C^2