Domínios de uma função

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 14:08

Olá me ajudem se está certo o domínio dessa função

$f\left(x,y \right)=1-{x}^{2}-{y}^{2}$

${x}^{2}-{y}^{2}\leq1$

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 15:10

Lembre-se, o domínio da função se refere ao x e ao y em absoluto.

é interessante pensar assim, "quais valores de x ou de y eu posso ou não posso colocar aqui ?"

no caso, voce pode colocar absolutamente qualquer valor real... em x e em y. não tem nenhuma restrição!

Se a sua função envolvesse uma raiz quadrada, ou um logarítimo, ou funcões nas quais não faz sentido calcular num conjuntos de números ai voce veria qual faz e qual nao faz sentido calcular, todos os que fizerem sentido calcular na função pertencem ao domínio!

se voce estiver falando da imagem é outra coisa (com voce está estudando funções de 2 variáveis acredito que voce pode ter confundido com a imagem)

se for o caso voce deve igualar a função a um numero

e ver quais numeros

podem ser atingidos pela função.

Explicitando a imagem:

$f(x,y) = z = 1 - {x}^{2} - {y}^{2}$

$z - 1 = - {x}^{2} - {y}^{2}$

$1 - z = {x}^{2} + {y}^{2}$

do lado direito da igualdade só é possível obter numeros maiores do que zero.... o segundo lado da igualdade tem que obedecer o mesmo:

$1 - z \geq 0$

$z \leq 1$

$f(x,y) \leq 1 \;\;\; \forall \; (x,y) \in \; R$

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 15:22

oi, então sempre que não houver raiz quadrada, logarítmica será número reais?

e para esses casos abaixo como devo avaliar

$f\left(x,y \right)=1-x-\frac{y}{2}$

$z= \sqrt[]{\frac{x-y}{x+y}}$ $z=\frac{y}{\sqrt[]{{x}^{2}+{y}^{2}-25}}}$

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 15:49

Isso que voce falou é BEM arriscado... existem plinomios de segundo grau.. ou terceiro. em fim, que tem parte imaginária! ou por exemplo voce nunca pode dividir por zero... todas essas coiass voce vai usar pra determinar o domínio...

Vamos às funçoes:

a primeira delas o domínio é real. QUALQUER valor de x e y que voce usar, voce consegue um resultado real, (obs, diz-se que o domínio é ${D}_{f} = {R}^{2}$ pois estamos falando de duas variáveis...)

a segunda é mais complicada... voce sabe que existem duas condições... não se pode dividir por zero, e a raiz nunca pode ser avaliada em numeros negativos (no caso real)

entao as condiçoes de existencia são:

$\frac{x-y}{x+y} \geq 0$

e

$x + y \neq 0$

quanto à primeira condição, temos:

$\frac{x-y}{x+y} \geq 0$

isso é complicado... devemos fazer um estudo de sinal. o sinal desse resultado depende do sinal do conteúdo de cima e do de baixo! vamos chamar essa inequação de (A)

(A) terá resultado positivo se e somente se, os resultados "de cima" e "de baixo" da fração, resultarem no mesmo sinal!

desenhe dois planos Oxy e faça sinaizinhos de + na parte que representa o resultado da inequação positivo e a parte que representa o resultado negativo voce faz sinaizinhos de -:

${x-y} \geq 0$

(desenhe a reta y = x. tudo que estiver 'acima' dela é negativo, e abaixo dela é positivo)

faça o mesmo com a parte de baixo da fração:

${x+y} \geq 0$

fará parte do domínio da função as areas em que as duas funçoes tiverem sinais iguais!

Lembrando que não se pode dividir por zero entao a outra condição de existencia descrita lá em cima também deve ser levada em conta.

A segunda função voce tenta =)

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 15:59

oi denovo fiz a segunda equação vê por favor se está certo

$d={x}^{2}+{y}^{2}\leq-25$

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:06

quase...

O certo seria maior ou igual.

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:07

opa, pera ai

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:08

raiz nao pode ser negativa, entao

${x}^{2} + {y}^{2} - 25 \geq 0$

dai temos que

${x}^{2} + {y}^{2} \geq 25$

só isso

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 16:16

retornando aos seus ensinamentos

então se tenho a função

$z= \frac{\sqrt[]{25-{x}^{2}-{y}^{2}}}x{}$

o domínio será

${x}^{2}-{y}^{2}\geq\25$

pois não temos raiz negativa?

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 16:17

opsss 25 no final

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:20

se não tem raiz negativa, o que está la dentro deve ser maior ou igual a zero.

$25 - {x}^{2} - {y}^{2} \geq 0$

passando o 25

$- {x}^{2} - {y}^{2} \geq -25$

multiplicando por -1 (e mundando a igualdade)

${x}^{2} + {y}^{2} \leq 25$

ta ai o domínio

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:20

aliás... também deve constar no domínio que

$x \neq 0$

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 16:31

agora entendi, então sempre que tenho uma raiz positiva devo só alterar os sinais das igualdades?

assim:

$f\left(x,y \right)=\sqrt[]{{x}^{2}-y+4}$

será ${x}^{2}-y\geq4$
${x}^{2}+y\leq4\neq0$

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:39

Vamos com muita calma.

O negocio é o seguinte... o que vai dentro da raiz TEM que ser maior ou igual a zero.

Tudo bem... isso é facil...

a questão que eu to aplicando sempre uma propriedade que parece que voce não sabe/lembra

na teoria de equações, o que eu faço quando eu tenho -x = -1

e eu quero explicitar x?

eu multiplico por -1 em ambos os lados. fica x = 1

em inequações eu posso fazer o mesmo, mas eu tenho que inverter a desigualdade!!!

é só isso, quando voce for passar um numero pro outro lado voce faz igual, quando voce for passar dividindo é igual, em fim. tudo igual. só que pra inverter os sinais voce muda a desigualdade... observe a minha penultima resposta e tente perceber o que eu fiz.

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 16:40

OBS : sua resposta ao ultimo exercicio estava certinha na penultima passagem... ${x}^{2} - y \geq 4$

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 17:02

e para cálculo de curva de nível para essa função

$z={x}^{2}+9{y}^{2}; k=0,1,2,3,4$

o k vai realizar uma subtração com o 9 do ${x}^{2}$ ou não?

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 17:16

não sei bem... a ideia desse "k" não está bem clara pra mim. imagino eu que sejam os níveis!

se for o caso, o que estamos fazendo ? primeiro, intercepte a curva

$z = {x}^{2} +9 {y}^{2}$

com o plano

z = 0

no caso do k = 0

o que obtemos ? quais valores de x e y resolvem a equação

${x}^{2} +9 {y}^{2} = 0$

não é dificil perceber que só o par (x,y) = (0,0) resolve isso! observe :

${x}^{2} +9 {y}^{2} = 0$

${x}^{2} = -9 {y}^{2}$

é IMPOSSIVEL algo ao quadrado ser negativo! entao só o que resolve é o zero!

fazendo isso com os outros numeros de k voce vai obtendo curvas implícitas:

${x}^{2} +9 {y}^{2} = k$

vira

$\frac{ {x}^{2}}{k} + \frac{ {y}^{2}}{\frac{k}{9}} = 1$

para valores de k...

reconhece uma equação de elipse ?

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 17:39

humm agora me confundi mais ainda!!! pode explicar melhor?

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 18:08

curvas de nível são muito simples. mas podem ficar meio chatas se a gente não compreende...

Quando eu tenho uma função z = f(x,y) = x+y

por exemplo. o que significa achar uma curva de nível no nível 0 por exeplo ? cortando isso pelo plano z = 0!

se voce tiver um bom plotador de graficos (caso não tenha http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe), plote essa curva junto ao plano z = 0... vai ver lá a reta y = -x

se eu colocar x + y = 1 por exemplo... é o mesmo. estou interseptando pelo plano z = 1 e vou obter y = 1-x... uma reta também. e assim vai...

No seu caso estamos obtendo equações de elipse! que são da seguinte cara :

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$

pra mandar bem em curvas de nível tem que saber essas coisas!

parábolas, hiperboles, circunferencias... ou seja, geometria analítica!

no caso do problema anterior para z = 0 eu obtive uma coisa assim

${x}^{2} = -9 {y}^{2}$

não existe NENHUM x e NENHUM y que resolve isso além do zero para ambos... por que ? x² está igual a um numero negativo!!! (sempre será negativo por que mesmo que o valor de y seja negativo o expoente vai tirar o sinal, mantendo o sinal original) o unico numero que resolve isso é o zero.

quanto ao resto, eu sugiro que voce de uma busca basica em geometria analítica, pode ajudar muito...

outra coisa que pode ajudar é o programa que eu sugeri ai em cima, o winplot. com ele voce plota o grafico e acha as curvas de nível cortando-o por planos z = k

não posso ajudar muuuito mais do que isso... se voce quiser, eu adiciono vc no msn e eu tento te explicar mais calmamente, tudo, passo a passo. mas eu sugiro que voce pegue um bom livro de G.A. e um bom de calculo...

Paulo boulos e James Stewart são otimos...

por **ah001334** » Seg Nov 07, 2011 18:16

vou pegar esses livros hoje na biblioteca, mas o problema é que estudo e não consigo aplicar o conhecimento na resolução dos problemas. Quero aprender e não consigo!!!!

me add se puder me ajuda

semprebela53@hotmail.com

por **procyon** » Seg Nov 07, 2011 22:06

Colega, procure pelo Volume I da coleção "Fundamentos da Matemática Elementar". Toda boa biblioteca possui um.
Estude com muita calma este livro e todos esses seus problemas estarão resolvidos. O livro tem uma bagagem teórica que pode parecer difícil em um primeiro momento mas com o tempo você mais se acostumando e REALMENTE entende porque você não pode fazer isso ou aquilo em uma função.

Dedique o seu tempo livre durante algumas semanas a essa coleção.
Caso já esteja na faculdade, vale a frase "dar um passo atrás para dar dois à frente"

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