[Exercício de derivadas]

por **elizandro** » Sáb Out 22, 2011 22:56

estou com duvida em um exercício de derivação eu não sei nem como começar a questão eh asssim:

Encontre todos os valores de x nos quais a reta tangente a curva dada satisfaz a propriedade enunciada.

$y=\frac{1}{x+4}$ ;passa pela origem.

por **TheoFerraz** » Sáb Out 22, 2011 23:16

Assim,
Como escrevemos uma equação de reta ?
Nós precisamos de um ponto que ela passa e um coeficiente angular (obs, se isso não estiver claro avise-me.)
Vamos chamar de

o coeficiente angular.

uma reta seria dada pela equação:

$f(x) = m \times \left( x - {x}_{0} \right) + f({x}_{0})$

sendo ${x}_{0} \;\;\ f({x}_{0})$ um pto q a reta passa.

No caso de uma reta tangente, nós podemos interpretar o 'm' como a derivada da função naquele ponto, entao ficaria.

$f(x) = f'( {x}_{0} ) \times \left( x - {x}_{0} \right) + f({x}_{0})$

a ideia é, construa essa equação usando a função dada e verifique se a reta passa pela origem, em outras palavras se f(0)=0

(Obs, como eu não estou com mto tempo eu respondi meio acoxambrado, esperando que voce soubesse já diversas coisas dessas, o por que desse coeficiente angular, essa derivada, ou melhor, o porque dessa equação geral pra retas existe e é compreensível, o mesmo pra derivada ser o coeficiente angular no caso duma tg. se isso não estiver claro eu explico.)

por **elizandro** » Sáb Out 22, 2011 23:20

TheoFerraz escreveu:Assim,
Como escrevemos uma equação de reta ?
Nós precisamos de um ponto que ela passa e um coeficiente angular (obs, se isso não estiver claro avise-me.)
Vamos chamar de o coeficiente angular.

uma reta seria dada pela equação:

$f(x) = m \times \left( x - {x}_{0} \right) + f({x}_{0})$

sendo ${x}_{0} \;\;\ f({x}_{0})$ um pto q a reta passa.

No caso de uma reta tangente, nós podemos interpretar o 'm' como a derivada da função naquele ponto, entao ficaria.

$f(x) = f'( {x}_{0} ) \times \left( x - {x}_{0} \right) + f({x}_{0})$

a ideia é, construa essa equação usando a função dada e verifique se a reta passa pela origem, em outras palavras se

(Obs, como eu não estou com mto tempo eu respondi meio acoxambrado, esperando que voce soubesse já diversas coisas dessas, o por que desse coeficiente angular, essa derivada, ou melhor, o porque dessa equação geral pra retas existe e é compreensível, o mesmo pra derivada ser o coeficiente angular no caso duma tg. se isso não estiver claro eu explico.)

entendi sim bah me ajudo um monte muito obrigado

por **elizandro** » Sáb Out 22, 2011 23:49

elizandro escreveu:
TheoFerraz escreveu:Assim,
Como escrevemos uma equação de reta ?
Nós precisamos de um ponto que ela passa e um coeficiente angular (obs, se isso não estiver claro avise-me.)
Vamos chamar de o coeficiente angular.

uma reta seria dada pela equação:

$f(x) = m \times \left( x - {x}_{0} \right) + f({x}_{0})$

sendo ${x}_{0} \;\;\ f({x}_{0})$ um pto q a reta passa.

No caso de uma reta tangente, nós podemos interpretar o 'm' como a derivada da função naquele ponto, entao ficaria.

$f(x) = f'( {x}_{0} ) \times \left( x - {x}_{0} \right) + f({x}_{0})$

a ideia é, construa essa equação usando a função dada e verifique se a reta passa pela origem, em outras palavras se

(Obs, como eu não estou com mto tempo eu respondi meio acoxambrado, esperando que voce soubesse já diversas coisas dessas, o por que desse coeficiente angular, essa derivada, ou melhor, o porque dessa equação geral pra retas existe e é compreensível, o mesmo pra derivada ser o coeficiente angular no caso duma tg. se isso não estiver claro eu explico.)

c puder fazer o calculo pra mim que eu tentei fazer mas n fecha o resultado q é -2

por **LuizAquino** » Dom Out 23, 2011 10:34

elizandro escreveu:c puder fazer o calculo pra mim que eu tentei fazer mas n fecha o resultado q é -2

Você já sabe que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c))

é dada por:

$y = f^{\prime}(c)(x-c) + f(c)$

Ou ainda, podemos escrever:

$y = f^{\prime}(c)x + f(c) - cf^\prime(c)$

Para que essa reta passe pela origem, deve ocorrer:

$f(c) - cf^\prime(c) = 0$

Ou seja, já que $f^{\prime}(x) = -\frac{1}{(x+4)^2}$ , precisamos resolver:

$\frac{1}{c+4} + \frac{c}{(c+4)^2} = 0$

Sendo assim, basta resolver essa equação para descobrir todos os pontos x = c

nos quais a reta tangente ao gráfico de f passa pela origem.

Foi uma equação como essa que você resolveu? Qual foi o seu desenvolvimento?

por **elizandro** » Dom Out 23, 2011 22:27

LuizAquino escreveu:
elizandro escreveu:c puder fazer o calculo pra mim que eu tentei fazer mas n fecha o resultado q é -2

Você já sabe que a reta tangente ao gráfico de f no ponto é dada por:

$y = f^{\prime}(c)(x-c) + f(c)$

Ou ainda, podemos escrever:

$y = f^{\prime}(c)x + f(c) - cf^\prime(c)$

Para que essa reta passe pela origem, deve ocorrer:

$f(c) - cf^\prime(c) = 0$

Ou seja, já que $f^{\prime}(x) = -\frac{1}{(x+4)^2}$ , precisamos resolver:

$\frac{1}{c+4} + \frac{c}{(c+4)^2} = 0$

Sendo assim, basta resolver essa equação para descobrir todos os pontos nos quais a reta tangente ao gráfico de f passa pela origem.

Foi uma equação como essa que você resolveu? Qual foi o seu desenvolvimento?