[LIMITE] cosseno

por **beel** » Ter Set 06, 2011 13:10

lim [ 2 + (cos x)/x ]
quando x tende ao infinito

Eu teria que transformar o cosseno em seno pra aplicar o limite fundamental trigonométrico?
E se for, como se faz isso?

Obs: o editor de formulas nao estava abrindo, desculpa escrever desse jeito

por **Neperiano** » Ter Set 06, 2011 14:45

Ola

Sen = 1/cosseno

Então Cosseno = 1/seno

Atenciosamente

por **beel** » Ter Set 06, 2011 15:23

Nao seria, cos = 1 - sen?

Enfim, nao entendi de qualquer forma, o que eu faço?

por **MarceloFantini** » Ter Set 06, 2011 18:13

A relação fundamental é $\textrm{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$ . Esclareça, por favor:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \cos x}{x}$ ou $\lim_{x \to \infty} 2 + \frac{\cos x}{x}$ ?

Neperiano, novamente, por favor tome cuidado pois sua afirmação não faz sentido e está equivocada.

por **beel** » Qui Set 08, 2011 14:53

A segunda opção( x dividindo apenas o cos(x) )

por **MarceloFantini** » Qui Set 08, 2011 18:48

Note que $| \cos x | \leq 1 \implies \left\vert \frac{\cos x}{x} \right\vert \leq \left\vert \frac{1}{x} \right\vert$ , cujo limite é zero, portanto:

$\lim_{x \to \infty} \left( 2 + \frac{\cos x}{x} \right) = 2$

por **LuizAquino** » Qui Set 08, 2011 18:54

isanobile,

Você já estudou o Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto)?

Dos conhecimentos de trigonometria, sabemos que:

$-1 \leq \cos x \leq 1$

Considerando x não nulo e positivo, podemos multiplicar toda essa inequação por 1/x e ela não se altera:

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\cos x}{x} \leq \frac{1}{x}$

Veja que $\lim_{x\to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ e $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$ . Portanto, pelo Teorema do Sanduíche, segue que $\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$ .

Isso significa que $\lim_{x\to \infty} 2 + \frac{\cos x}{x} = 2$ .

Observação
O colega Fantini enviou sua mensagem às 18:48, enquanto eu ainda editava a minha mensagem (que foi enviada às 18:54). Portanto, desculpem a duplicidade na resposta.