Limite

por **Claudin** » Ter Mai 31, 2011 12:17

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{2}}{x}$

Gostaria de saber qual o valor correto da resolução. Seria $\frac{1}{4}$ ?

por **stuart clark** » Ter Mai 31, 2011 13:59

por **Claudin** » Ter Mai 31, 2011 15:21

stuart clark escreveu: $\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{2}}{x} = \lim_{x\rightarrow \0}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\right)}{x}.\frac{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Resolvi de outro modo

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{2}}{x} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{2}}{x}. \frac{\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2}}$

$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{x+2-2}{x(\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2})}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x(\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2})}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1)^2}{(\sqrt[]{x+2})^2+(\sqrt[]{2})^2}$

$\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}=\frac{1}{4}$

Mas tive dúvida quando elevei o denominador ao quadrado, fiquei na dúvida se era somente
para retirar as raizes ou fazer produto notavel (quadrado do primeiro mais 2 vezes o primeiro vezes o segundo mais quadrado do segundo) ai o resultado seria $\frac{1}{8}$

por **carlosalesouza** » Ter Mai 31, 2011 17:27

Claudin, creio que vc ta cometendo uma pequena distração... rs

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\not x}{\not x(\sqrt{x+ 2 } + \sqrt 2)} = \frac{1}{\sqrt{0+2} + \sqrt 2}$

Agora, no denominador, temos $\sqrt 2 + \sqrt 2$ o que é igual a $2\sqrt 2$ não 4... rs ok?

por **Claudin** » Ter Mai 31, 2011 17:30

Elevei tanto o numerador como denominador ao quadrado para retirar a raiz.
E depois de tirar a raiz, que substitui "x" tendendo a zero. que ficaria 0+2+2

Entendeu oq eu fiz? Só queria saber se isso pode ser feito

Abraço

por **carlosalesouza** » Ter Mai 31, 2011 17:49

Elevar ao quadrado só pode ser feito quando temos uma (des)igualdade... pois, $\frac{a}{b} \neq \frac{a^2}{b^2}$ , certo?

Quando temos apenas uma fração, o que podemos fazer é multiplicar ou dividir numerador e denominar por um mesmo valor, pois $\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}$ , não é verdade?

Por isso que acabou dando um resultado diferente...

é verdade que $\frac{1}{2\sqrt2}$ ainda não é o resultado final, segundo creio, pois uma raíz no denominador é inadequada... então, seria melhor continuar, multiplicando ambos pela raiz, chegando a

$\frac{\sqrt 2}{4}$

Que me pareceria uma resposta mais elegante... hehehehe

Uma abraço

por **Claudin** » Ter Mai 31, 2011 17:51

Concordo, Valeu pela ajuda Carlos

Abraço

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