(POLIEDRO) Provar que o no. é inteiro

por **Carolziiinhaaah** » Sex Fev 04, 2011 15:39

Prove que o número $\sqrt[3]{2 + \frac{10}{9}.\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2 - \frac{10}{9}.\sqrt{3}}$ é inteiro.

gabarito: 2.

por **Elcioschin** » Sex Fev 04, 2011 17:30

Para facilitar façamos x = 2 + 10*V3/9, y = 2 - 10*V3/9 ----> x + y = 4 ----> xy = 4 - 100*3/81 ----> xy = 8/27 ----> ³V(xy) = 2/3

z = ³Vx + ³Vy ----> Elevando ao cubo:

z³ = (³Vx + ³Vy)³ ----> z³ = x + 3*³V(x²)*³Vy + 3*³Vx*³V(y²) + y ----> z³ = x + y + 3*³Vx*³Vy*(³Vx + ³Vy) ---->

z³ = 4 + 3*³V(xy)*z ----> z³ = 4 + 3*(2/3)*z ----> z³ = 4 + 2z

Esta equação do 3º grau admite uma raiz inteira z = 2

por **Cleyson007** » Sáb Fev 05, 2011 12:13

Elcio, encontrei que x+y=4

e $xy=\frac{2}{3}$ , veja:

Imagem

Resolvendo o sistema, $\left\{\begin{matrix} x+y=4 & \\ xy=\frac{2}{3}& \end{matrix}\right.$ , encontrei:

$y=\frac{6+\sqrt{30}}{3}$

$x=\frac{6-\sqrt{30}}{3}$

Bom, o exercício pede para provar que o número em questão é inteiro, correto? Ao fazer x + y = 4, já não fica provado que o número de fato é inteiro?

Não consegui entender o que foi feito para demonstrar que admite uma raiz inteira z = 2

Aguardo retorno.

por **MarceloFantini** » Sáb Fev 05, 2011 13:20

Você está esquecendo o fato de que o número que ele quer na verdade é $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}$ , e não x+y

.

por **Elcioschin** » Sáb Fev 05, 2011 13:56

Complementando a resposta do Fantini:

Equação final ----> z³ = 2z + 4 ----> z³ - 2z + 4 = 0

Pesquisa de raízes racionais:

Divisores de 4 ----> + - 1, 2, 4
Divisotes co coeficiente de z³ (1) ----> + - 1

Se houver raízes racionais elas deverão ser dadas pelas relações entre os divisores ----> + - 4/1, 2/1, 1/1

Logo se existirem raízes racinais elas serão INTEIRAS ----> + - 4, 2, 1

Agora basta testar este 6 valores