(POLIEDRO) Provar que o no. é inteiro

[Carolziiinhaaah]

Prove que o número é inteiro.

gabarito: 2.

[Elcioschin]

Para facilitar façamos x = 2 + 10*V3/9, y = 2 - 10*V3/9 ----> x + y = 4 ----> xy = 4 - 100*3/81 ----> xy = 8/27 ----> ³V(xy) = 2/3

z = ³Vx + ³Vy ----> Elevando ao cubo:

z³ = (³Vx + ³Vy)³ ----> z³ = x + 3*³V(x²)*³Vy + 3*³Vx*³V(y²) + y ----> z³ = x + y + 3*³Vx*³Vy*(³Vx + ³Vy) ---->

z³ = 4 + 3*³V(xy)*z ----> z³ = 4 + 3*(2/3)*z ----> z³ = 4 + 2z

Esta equação do 3º grau admite uma raiz inteira z = 2

[Cleyson007]

Elcio, encontrei que e , veja:



Resolvendo o sistema, , encontrei:





Bom, o exercício pede para provar que o número em questão é inteiro, correto? Ao fazer x + y = 4, já não fica provado que o número de fato é inteiro?

Não consegui entender o que foi feito para demonstrar que admite uma raiz inteira z = 2

Aguardo retorno.

[MarceloFantini]

Você está esquecendo o fato de que o número que ele quer na verdade é , e não .

[Elcioschin]

Complementando a resposta do Fantini:

Equação final ----> z³ = 2z + 4 ----> z³ - 2z + 4 = 0

Pesquisa de raízes racionais:

Divisores de 4 ----> + - 1, 2, 4
Divisotes co coeficiente de z³ (1) ----> + - 1

Se houver raízes racionais elas deverão ser dadas pelas relações entre os divisores ----> + - 4/1, 2/1, 1/1

Logo se existirem raízes racinais elas serão INTEIRAS ----> + - 4, 2, 1

Agora basta testar este 6 valores

[Carolziiinhaaah]

Obrigada Elcio!
Bastante esclarecedor!