Extremos de funções e derivadas

por **Victor Mello** » Dom Nov 17, 2013 12:20

Galera, eu estava tentando esboçar o gráfico da função $g(x)= x\sqrt[]{8-x^2}$ . E tuda estava dando certo.

Derivei essa função e achei os pontos críticos, que são x=2 ou x=-2 e também $x=2\sqrt[]{2}$ ou $x=-2\sqrt[]{2}$

Feito isso, eu derivei novamente essa função (no caso a segunda derivada) para verificar se os pontos críticos são pontos de máximo ou ponto de mínimo. E pelo que calculei, o x=2 é o ponto de máximo (segunda derivada é negativa) e também côncavo para baixo, e x=-2 é o ponto de mínimo (segunda derivada é positiva) e também côncavo para cima. Mas para $x=2\sqrt[]{2}$ e $x=-2\sqrt[]{2}$ a segunda derivada não existe (joguei tudo pela calculadora pois é muito trabalho fazer tudo a mão), então não podemos afirmar nada se esses pontos são de máximo ou de mínimo. Mas eu sei que o x=0 é o ponto de inflexão, pois a segunda derivada é nula para esse ponto.

OBS: deu muito trabalho para derivar essa função, pois é uma função polinominal junto com a raíz. Isso vira um jogo de regra da cadeia.

Feito isso eu esbocei o gráfico e ficou assim:

Mínimo local em x=-2 máximo local em x=2

Porém, o gabarito deu também que tem máximos e mínimos absolutos que é x=2 e x=-2 respectivamente, e máximo local em $x=-2\sqrt[]{2}$ e mínimo local em $x=2\sqrt[]{2}$ , além de x=2 e x=-2 que achei. Eu não entendi o motivo da existência de extremos absolutos, transferi tudo para o software gráfico e esse gráfico ficou muito parecido com o meu, e o gabarito está dizendo que faltou alguma coisa. Alguém poderia me ajudar a verificar esse misterioso gráfico? Eu Agradeço se alguém puder :-D

Abraço.

por **e8group** » Dom Nov 17, 2013 15:39

A função

é contínua no intervalo fechado $[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}] = I$ (Este é o maior intervalo para o qual a função está definida) ,então pelo Teorema de Weierstrass está função possui um valor máximo absoluto e mínimo absoluto em

.

É bem provável que esta função assuma valor máximo/mínimo absoluto nos pontos do extremo do intervalo ou nos pontos críticos encontrados.

Basta comparar a imagens destes pontos (críticos e dos extremos do intervalo) por

,verificando quais são maiores ,menores .

OBS .: Observe que a função não está definida para pontos fora do intervalo I , pois, pontos tomados em $I^{C}$ são levados em imagem complexas por

e estamos trabalhando com funções cujo domínio e contra-domínio são subconjuntos de $\mathbb{R}$ .

Portanto deve corrigir o esboço do gráfico .

por **Victor Mello** » Dom Nov 17, 2013 16:35

Ahhh é verdade! Nem tinha percebido que o domínio dessa função também varia de $-2\sqrt[]{2}$ para $2\sqrt[]{2}$ . Então quer dizer que os pontos críticos $-2\sqrt[]{2}$ e $2\sqrt[]{2}$ também são extremos dos intervalos? Agora clareou um pouco, pois já que o intervalo do domínio é dessa forma, então realmente os extremos absolutos são x=-2 e x=2. Agora quero entender: Já que o intervalo do domínio é assim, eu ainda não estou enxergando de onde veio os pontos de máximo e mínimo local em $-2\sqrt[]{2}$ e $2\sqrt[]{2}$ respectivamente, é o que o gabarito mostrou. A imagem desses pontos é zero, e dos pontos críticos 2 e -2 são: 4 e -4 respectivamente. Mas valeu pelo detalhe.

por **e8group** » Dom Nov 17, 2013 18:54

Não é possível determinar intervalos abertos $\subset I$ contendo um dos extremos do intervalo

,então como tais pontos são considerados extremos locais ?

Observe que se $- 2\sqrt{2}$ fosse ponto de máximo local de

então existiria uma vizinhança $V \subset I$ de $- 2\sqrt{2}$ (i.e, um intervalo aberto $(a,b) \subset I$ contendo $- 2\sqrt{2}$ ) tal que
$f(x) \leq f(-2\sqrt{2}) , \forall x \in V$ , mas acontece que não existe esta vizinhança

de $- 2\sqrt{2}$ .Pelo mesmo argumento ,pode-se concluir que $2\sqrt{2}$ não é mínimo local .

por **Victor Mello** » Dom Nov 17, 2013 19:16

Pois é... Eu estava suspeitando isso. Puxa, os extremos do domínio é só para limitar uma função e ponto não tem como esses extremos serem extremos locais. Então para mim, o gabarito só pode estar errado. Na verdade então só tem x=2 e x=-2 como extremos locais, assim como absolutos, pois justamente o domínio varia de $-2\sqrt[]{2}$ até $2\sqrt[]{2}$ num intervalo fechado.