Conjunto imagem

por **Jonatan** » Qui Jul 08, 2010 01:47

Considere a função real f definida por:

f(x) = ${x}^{2}$ - 1, se x < -2

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se $-2 \leq x \prec -1$

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se -1 < x < 1

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se 1 < x < 2

f(x) = ${x}^{2}$ , se $x \geq 2$

f(x) = 1, se x = 1

f(x) = 1, se x = -1

Determine o conjunto imagem da função.

Gabarito: $] -\infty,-6] \cup {1} \cup [2, +\infty[$

por **Tom** » Qui Jul 08, 2010 02:39

Vamos determinar a imagem de cada definição para a função e por fim fazer a união das imagens, conforme abaixo:

Para f(x) = x^2- 1

, se

Temos $Im=]3;+\infty[$

Para $f(x) = \frac{6}{x^2-1}$ , se $-2 \le x < -1$

Temos $Im=[2;+\infty[$

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se -1 < x < 1

Temos $Im=]-\infty;-6]$

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se 1 < x < 2

Temos $Im=]3;+\infty[$

f(x) = ${x}^{2}$ , se $x \geq 2$ , temos $Im=[4;+\infty[$

f(x) = 1, se x = 1 , $Im=\{1\}$

f(x) = 1, se x = -1, $Im=\{-1\}$

O conjunto imagem da função será: $] -\infty,-6[ \cup {1} \cup [2, +\infty[$

por **Jonatan** » Qui Jul 08, 2010 12:09

Ok, Tom. Mas para achar a imagem de uma lei de função dada eu devo atribuir valores para x que estão dentro do meu domínio para pode obter imagens y, correto? Mas no caso dessa questão, como faço para achar os valores que devo atribuir a x, uma vez que o domínio é real...

Pensei por exemplo na primeira lei que diz:

f(x) = ${x}^{2}$ - 1 se x < -2
para x um valor real a meu critério valendo menos que -2:
x = -3

y = ${\left(-3 \right)}^{2}$ - 1 = 8

É a partir daí que eu já não sei resolver o exercício, que, apesar de longo, não me parece ser difícil...

por **Tom** » Qui Jul 08, 2010 12:58

A uma linguaguem formal, o que você deve ver são os limites que f(x)

assume, quando você faz

tender aos valores pré-definidos no domínio; respeitando sempre o comportamento assintótico das curvas.

Por exemplo, na primeira função, fazendo

tender a

, observamos que f(x)

tende a

e nota-se que para valroes menores que

, a função é estritamente crescente. Nao basta pegar valores intermediários no intervalo, mas sim os valores limitantes.

O que você deve fazer é analisar cada função passo a passo... Como em todos os casos aparece uma função do segundo grau, a imagem sempre está relacionada com o

Veja :

Para f(x) = x^2- 1

, se

Imagine essa função com domínio no subconjunto real x<-2

. Como se trata de uma função do segundo grau, de concavidade voltada para cima, a imagem irá de $]y_v;+\infty[$ ou do ponto de ordenada mais próximo do y_v

e que tenha abicissa pertencente ao conjunto domínio dessa função particular.

Aplicando a relação do y_v

, temos: $Im=]3;+\infty[$

Para esses três casos, é imediato obter o conjunto imagem.

f(x) = ${x}^{2}$ , se $x \geq 2$ , temos $Im=[4;+\infty[$

f(x) = 1, se x = 1 , $Im=\{1\}$

f(x) = 1, se x = -1, $Im=\{-1\}$

Para os demais casos:

Para $f(x) = \frac{6}{x^2-1}$

Novamente entenda que o dominio dessa função não é o conjunto real, mas sim os intervalos definidos em cada lei particular.

Perceba que o numerador é constante, então f(x)

depende do denominador, assim o quociente tem sempre o mesmo sinal do denominador.

Fazendo o estudo do sinal do denominador, isto é, x^2-1

, observamos que:

$x^2-1\le0$ se $x \ge1$ ou $x\le-1$ e nesses casos a função tem um valor mínimo e cresce até $+\inty$

x^2-1<0

se

, e nesse caso a funçao apresenta valor minimo quando x=0

o que decorre na imagem ser de $[-6;-\infty[$

Decorre então que:

Para $f(x) = \frac{6}{x^2-1}$ , se $-2 \le x < -1$

Temos $Im=[2;+\infty[$

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se -1 < x < 1

Temos $Im=]-\infty;-6]$

f(x) = $\frac{6}{{x}^{2}-1}$ , se 1 < x < 2

Temos $Im=]3;+\infty[$

O conjunto imagem da função,como já falei, é a união dos intervalos anteriores e será: $] -\infty,-6[ \cup {1} \cup [2, +\infty[$

Veja que a função

realmente tem domínio no conjunto real, já que se fizermos a união de todos os "domínios" das subfunções obtemos o conjunto real, de fato. O que ocorre é que

foi definida através de uma composição de leis.

Conjunto imagem

Conjunto imagem

Conjunto imagem

Re: Conjunto imagem

Re: Conjunto imagem

Re: Conjunto imagem

Quem está online