Conjunto imagem

[Jonatan]

Considere a função real f definida por:

f(x) = - 1, se x < -2

f(x) = , se

f(x) = , se -1 < x < 1

f(x) = , se 1 < x < 2

f(x) = , se

f(x) = 1, se x = 1

f(x) = 1, se x = -1


Determine o conjunto imagem da função.

Gabarito:

[Tom]

Vamos determinar a imagem de cada definição para a função e por fim fazer a união das imagens, conforme abaixo:


Para , se

Temos


Para , se

Temos


f(x) = , se -1 < x < 1

Temos



f(x) = , se 1 < x < 2

Temos


f(x) = , se , temos

f(x) = 1, se x = 1 ,

f(x) = 1, se x = -1,



O conjunto imagem da função será:

[Jonatan]

Ok, Tom. Mas para achar a imagem de uma lei de função dada eu devo atribuir valores para x que estão dentro do meu domínio para pode obter imagens y, correto? Mas no caso dessa questão, como faço para achar os valores que devo atribuir a x, uma vez que o domínio é real...

Pensei por exemplo na primeira lei que diz:

f(x) = - 1 se x < -2
para x um valor real a meu critério valendo menos que -2:
x = -3

y = - 1 = 8

É a partir daí que eu já não sei resolver o exercício, que, apesar de longo, não me parece ser difícil...

[Tom]

A uma linguaguem formal, o que você deve ver são os limites que assume, quando você faz tender aos valores pré-definidos no domínio; respeitando sempre o comportamento assintótico das curvas.


Por exemplo, na primeira função, fazendo tender a , observamos que tende a e nota-se que para valroes menores que , a função é estritamente crescente. Nao basta pegar valores intermediários no intervalo, mas sim os valores limitantes.


O que você deve fazer é analisar cada função passo a passo... Como em todos os casos aparece uma função do segundo grau, a imagem sempre está relacionada com o

Veja :


Para , se

Imagine essa função com domínio no subconjunto real . Como se trata de uma função do segundo grau, de concavidade voltada para cima, a imagem irá de ou do ponto de ordenada mais próximo do e que tenha abicissa pertencente ao conjunto domínio dessa função particular.

Aplicando a relação do , temos:



Para esses três casos, é imediato obter o conjunto imagem.

f(x) = , se , temos

f(x) = 1, se x = 1 ,

f(x) = 1, se x = -1,



Para os demais casos:

Para

Novamente entenda que o dominio dessa função não é o conjunto real, mas sim os intervalos definidos em cada lei particular.

Perceba que o numerador é constante, então depende do denominador, assim o quociente tem sempre o mesmo sinal do denominador.

Fazendo o estudo do sinal do denominador, isto é, , observamos que:

se ou e nesses casos a função tem um valor mínimo e cresce até

se , e nesse caso a funçao apresenta valor minimo quando o que decorre na imagem ser de


Decorre então que:


Para , se

Temos


f(x) = , se -1 < x < 1

Temos



f(x) = , se 1 < x < 2

Temos


O conjunto imagem da função,como já falei, é a união dos intervalos anteriores e será:

Veja que a função realmente tem domínio no conjunto real, já que se fizermos a união de todos os "domínios" das subfunções obtemos o conjunto real, de fato. O que ocorre é que foi definida através de uma composição de leis.