[Relações] Simetria, Assimetria e Transitividade

[raymondtfr]

O livro que estou lendo diz o seguinte:

- Simetria
1) diz-se simétrica se, e somente se, quando . Isto é:

Uma relação sobre um conjunto A não é simétrica se existirem a e b em A, , tais que e .

Até encima tudo bem...

- Transitividade
2) diz-se transitiva se, e somente se, quando e , então .Isto é:
e

Aqui vem uma dúvida:
Mas neste exemplo:
a) Seja {}. A relação sobre A:
{}
Diz que não é transitiva, pois e , mas .

DÚVIDA 01 (a): Mas , , então , portanto é transitiva, estou certo?

- Antissimetria
3) diz-se antissimétrica se, e somente se, quando (a; b) e (b; a) , então, a = b. Isto é:
e

Mas neste exemplo:
b) Seja {}. A relação sobre A.
{}
não é antissimétrica, pois (4; 2) e também (2; 4) .

DÚVIDA 02 (b): Eu entendi o exemplo "b)", pois com os elementos (4; 2) e (2; 4) a relação é obviamente simétrica, porém, o que eu não entendo é a definição dado pelo livro sobre a Antissimetria, que diz que e . Eu não entendo quando ele diz que a = b, embora num exemplo envolvendo "conjunto de conjuntos" eu tenha entendido perfeitamente.

Agradeço desde já!

[adauto martins]

1)
tal q. ={(a,b),(c,b),(b,a),(a,c)}...aqui ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},pela a definiçao de ,logo a relaçao de transitividade em ,nao tem o elemento (c,a)...
2)
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},q. contem o conjunto antisemtrico q. eh={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},logo...os elementos (2,4),(4,2) pertencentes a ,sao simetricos,mas nao antisemtricos,pois nao sao iguais

[raymondtfr]

1)
tal q. ={(a,b),(c,b),(b,a),(a,c)}...aqui ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},pela a definiçao de ,logo a relaçao de transitividade em ,nao tem o elemento (c,a)...
2)
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},q. contem o conjunto antisemtrico q. eh={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},logo...os elementos (2,4),(4,2) pertencentes a ,sao simetricos,mas nao antisemtricos,pois nao sao iguais

Então quer dizer que minha suposição: "DÚVIDA 01 (a): Mas (a; c) , (c; b) , então , portanto é transitiva, estou certo?" está errada?

Valeu!

[adauto martins]

R e transitiva com relaçao aos elementos de R,(a,c),(c,b),(a,b) pertencem a R,entao ha transitividade em aRc e cRb e aRb...esta correto como vc fez...mas se fosse cRb,bRa nao implica cRa,pois (c,a) nao pertence a R,logo nao ha transitividade em R p/(c,a)

[raymondtfr]

Ah tah, entendi. Obrigado por sanar minhas dúvidas.