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[Limite] Limites infinitos envolvendo série

[Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Ter Ago 18, 2015 15:56

Não aprendi a usar ainda o editor de fórmulas por isso anexei o limite. Minha dúvida é como calcular limites infinitos envolvendo séries, agradeço antecipadamente
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 18, 2015 21:34

davifd_

Este limite parece ser bem simples. Me corrijam se eu estiver errado pessoal.

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3}

Como n tende ao infinito, tanto o numerador como o denominador tendem ao infinito dando uma Indefninição do tipo: \frac{\infty}{\infty}

Assim, vamos dividir todos os valores do numerador e também do denominador por: n^2. Assim, no numerador, todos os valores com exceção do último tenderão para zero quando n tender para o infinito. O último tenderá para 1 ficando da seguinte forma:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1^2}{n^2} + \frac{2^2}{n^2} + \frac{3^2}{n^2} + ... +  + \frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^3}{n^2}} =

= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0

\blacksquare
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Ter Ago 18, 2015 23:40

nakagumahissao

inicialmente eu pensei assim tb, porém a resposta desse limite é 1/3, tem que fazer alguma jogada com o limite da série
davifd_
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 18, 2015 23:54

davifd_,


Então, como esse limite possui uma indefinição na fração, tentei por L'Hôpital também, mas o resultado é o mesmo! Apliquei duas vezes:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} =

= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{3n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{6n} =  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3n} = 0

Vou pensar mais um pouco e entro em contato em breve. Por um acaso, poderia me informar de onde tirou esse problema (livro, autor, página, volume, edição?) por favor?


Grato



Sandro
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Ter Ago 18, 2015 23:56

[quote="nakagumahissao"]

Esse problema foi de um concurso para fuzileiro naval, área de máquinas, é de engenharia ano 2014
davifd_
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 00:27

davifd_,


Então davifd, coloquei esta sua questão no Mapple que é um software voltado para a matemática e cálculos científicos e o resultado foi esse que calculamos mesmo, ou seja, zero. Acredito que o gabarito esteja errado.

https://goo.gl/photos/iGei8WW8WsQ9ZLQu9

Acho que agora só aguardando outro professor passar por aqui para ajudar a sanar esta dúvida. Mas como já estou respondendo, acredito que outro professor não olhará este thread. Talvez se você postar novamente o problema para ter uma segunda opinião, quem sabe?


Grato


Sandro
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Qua Ago 19, 2015 00:57

[quote="nakagumahissao"]davifd_,


Opa, eu joguei no mathcad e deu 1/3, vc definiu errado a série eu acho... Tem que por x^2 e indo de x=1 até n o somatório
davifd_
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 00:58

Vou tentar aqui. Já retorno.
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 01:27

Realmente:

\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Utilizando esta identidade teremos:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}k^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3} =

= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\;\;\; [1]

Usando L'Hôpital duas vezes, tem-se:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+1) + 2(n+1)}{12n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n + 3}{12n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

Nossa! Essa foi difícil! heheheh - Acho que agora está certo! Desculpe pelo erro! Afinal, não somos infalíveis!


Para o caso de desejar saber:

http://www.9math.com/book/sum-squares-f ... al-numbers
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Qua Ago 19, 2015 07:12

nakagumahissao

Obrigado! Com a identidade saiu fácil, o problema é decorar pra prova ne? hahahah
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 09:17

Verdade! Bons estudos
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)