Problema sobre PA

por **Cleyson007** » Dom Mai 25, 2008 01:53

Boa noite Fábio Sousa, tudo bem?

Gostaria de saber se a resolução da questão abaixo está certa.

Um menino tem R$ 19,00 no seu cofre e, a partir de certo mês, passou a tirar R$ 0,80 todos os dias para um sorvete.
Pergunta-se: Qual foi o 1º dia em que ele não pôde tomar sorvete?

No meu modo de pensar o 1º dia em que ele não pode tomar sorvete foi quando acabou o dinheiro.
Se acabou o dinheiro eu coloquei 0 (zero) no termo geral da PA.

Resolvi a questão assim ----> 0 = 19 + (0,8n + 0,8), obtendo o valor de 24,75 para n.
O raciocício está correto?

Um abraço.

por **admin** » Dom Mai 25, 2008 02:45

Olá Cleyson, tudo bem!

O menino não pôde comprar sorvete quando o saldo do cofre ficou inferior a 80 centavos!

Lembre-se que se

é o número de dias, $n \in \math{N}$ , ou seja, $n \in \left\{ 0, 1, 2, 3, \cdots \right\}$ .

Veja o que aconteceu dia a dia com o saldo do cofre:
1º dia) saldo = $19 - 1\cdot0,8$
2º dia) saldo = $19 - 2\cdot0,8$
3º dia) saldo = $19 - 3\cdot0,8$
$\vdots$
n-ésimo dia) saldo = $19 - n\cdot0,8$

A pergunta é: quando o saldo ficou inferior a 80 centavos?
Ou seja, a partir de qual valor de

:

$19 - n\cdot0,8 < 0,8$

Resolva esta inequação, lembrando antes de responder que

é um número natural.
Para conferir, pense no caso real, testando o valor encontrado.

por **Cleyson007** » Dom Mai 25, 2008 03:03

fabiosousa escreveu:Olá Cleyson, tudo bem!

O menino não pôde comprar sorvete quando o saldo do cofre ficou inferior a 80 centavos!

Lembre-se que se é o número de dias, $n \in \math{N}$ , ou seja, $n \in \left\{ 0, 1, 2, 3, \cdots \right\}$ .

Veja o que aconteceu dia a dia com o saldo do cofre:
1º dia) saldo = $19 - 1\cdot0,8$
2º dia) saldo = $19 - 2\cdot0,8$
3º dia) saldo = $19 - 3\cdot0,8$
$\vdots$
n-ésimo dia) saldo = $19 - n\cdot0,8$

A pergunta é: quando o saldo ficou inferior a 80 centavos?
Ou seja, a partir de qual valor de :

$19 - n\cdot0,8 < 0,8$

Resolva esta inequação, lembrando antes de responder que é um número natural.
Para conferir, pense no caso real, testando o valor encontrado.

A resolução do sistema ficaria assim ----> 19 - 0,8 n < 0,8 0,8 - 19 < - 0,8 n - 18,2 < - 0,8 n ( -1)
Encontrando o valor de n > 22,75.

Observando que n é um nº real, a resposta seria n = 23 ?

Pensando no caso real ---> 19 - 0,8 n < 0,8 para n = 23 19 - 0,8 (23) < 0,8 0,6 < 0,8 ( verdadeiro )

por **admin** » Dom Mai 25, 2008 04:31

Cleyson007 escreveu:A resolução do sistema ficaria assim ---->
19 - 0,8 n < 0,8
$\xcancel{ \begin{matrix} 0,8 - 19 < - 0,8 n \\ - 18,2 < - 0,8 n ( -1) \end{matrix} }$
Encontrando o valor de n > 22,75.

Observando que n é um nº real, a resposta seria n = 23 ?

Cleyson,

é um número natural, $n \in \left\{0, 1, 2, 3, \cdots \right\}$ .
De fato, n > 22,75

, mas cuidado na resolução da inequação, não "sistema":

$19 - n\cdot0,8 < 0,8$

$19 - 0,8 < n\cdot0,8$

$18,2 < n\cdot0,8$

$\frac{18,2}{0,8} < n$

22,75 < n

ou

Portando, a partir de n=23

(o 23º dia) o menino não pôde comprar sorvete, pois neste dia o saldo do cofre era de 60 centavos!

Por curiosidade, repare que relacionando com P.A., temos:

O termo geral:

E refazendo a pergunta: a partir de qual , $k \in \math{N}$ , .

Resolvendo:

$\frac{19}{0,8} < k$

Cuidado que aqui é o número do termo da P.A., não o número de dias decorridos.

O número de dias decorridos é:

Portanto:

Logo, dias, como já havíamos concluído.

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