Ajuda com questão de Logaritmos

por **matheus soder** » Dom Nov 30, 2014 20:58

Preciso descobrir :
a) A + B
b) A : B

Se puderem necessito para amanhã de manhã

por **nakagumahissao** » Seg Dez 01, 2014 01:32

Como estão escritos nas regras do fórum, o que já tentou fazer para resolver o problema e em que ponto parou? Poderia postar o que já tentou fazer por favor?

por **matheus soder** » Seg Dez 01, 2014 08:49

Eu tentei inverter um dos logaritimos para poder cortar, mas não sei se está correto, assim como o outro, para depois somar seus resultados

por **nakagumahissao** » Ter Dez 02, 2014 20:01

Matheus,

Vamos começar resolvendo da seguinte maneira: da forma como estão A e B, ficaria difícil de resolver o problema, assim, vamos usar algumas propriedades para resolver o problema. Primeiramente vamos tratar do A.

$A = \log_{\frac{1}{5}}^{16} \log_{16}^{\frac{1}{5}}$

Podemos reescrever A usando a troca de base as propriedades da potenciação, ou seja, ficaria da seguinte forma:

$A = \log_{\frac{1}{5}}^{16} \log_{16}^{\frac{1}{5}} = \log_{5^{-1}}^{2^{4}} \log_{2^{4}}^{5^{-1}}\Rightarrow$

$\Rightarrow A = 4\log_{5^{-1}}^{2} \left(- \log_{2^{4}}^{5} \right)\Rightarrow$

Agora, mudaremos os logaritmos acima de forma que as bases sejam iguais para os dois. Assim, teremos:

$\Rightarrow A = -4 \frac{\log_{2}^{2}}{\log_{2}^{5^{-1}}}\frac{\log_{2}^{5}}{\log_{2}^{2^{4}}} = -4\frac{1}{-\log_{2}{5}}\frac{\log_{2}^{5}}{4\log_{2}^{2}} = 4\frac{1}{\log_{2}{5}}\frac{\log_{2}^{5}}{4}\Rightarrow$

$\Rightarrow A = 1$

Agora vamos simplificar B:

$B = \frac{1}{\log_{25}^{5}}$

Vamos alterar a base do logaritmo para 5 para facilitar os cálculos:

$B = \frac{1}{\log_{25}^{5}} = \frac{1}{\frac{\log_{5}^{5}}{\log_{5}^{25}}} = \frac{1}{\frac{\log_{5}^{5}}{\log_{5}^{5^{2}}}} = \frac{1}{\frac{1}{2\log_{5}^{5}}} = 2\log_{5}^{5} = 2$

Como A = B = 1, agora podemos resolver o problema inicial:

a) A + B = 1 + 2 = 3
b) A : B = 1/2

Que são as respostas procuradas.