[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

por **Pessoa Estranha** » Dom Nov 16, 2014 11:43

Olá, pessoal!

Preciso de ajuda no seguinte exercício:

"Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Sua altura h (metros) em relação ao solo, é dada por $h = {t}^{3} - 3{t}^{2} - 9t + 1$ , onde t indica o número de segundos decorridos após o lançamento. Em que instante a pedra atingirá sua altura máxima?"

Bom, como queremos encontrar o instante no qual a pedra atinge altura máxima, queremos, então, encontrar o ponto de máximo global. Daí, derivei a função f(t) = h. Fazendo um estudo do sinal, vem que t = -1 é o instante procurado. Contudo, isto não faz sentido. O instante é negativo. Daí, observando o gráfico da f, [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28t%29+%3D+%28%28t%29^%283%29%29+-+%28%283%29%28%28t%29^%282%29%29%29+-+9t+%2B1[/url], vem que a função explode. O instante t = -1 realmente é ponto de máximo, mas, local. Agora, eu não entendi. O que estou fazendo de errado?

Por favor, preciso de ajuda!!
Muito Obrigada!

por **nakagumahissao** » Seg Nov 17, 2014 10:41

Pessoa Estranha,

Esta questão é bem simples. Derivando

h = t^3 - 3t^2 - 9t + 1

teremos a equação da velocidade do objeto. Assim, teremos:

$\frac{dh}{dt} = v = 3t^2 - 6t - 9$

Este objeto terá atingido sua altura máxima quando a velocidade do objeto for zero, pois o objeto irá subir até perder toda a sua velocidade (atingindo o ponto máximo possível) e então começará a descer. Assim, tomando v = 0, teremos:

v = 3t^2 - 6t - 9 = 0

$\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 4(3)(-9) = 144$

Resolvendo a função quadrática, teremos:

$t =\frac{ -b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt[]{144}}{2(3)} = \frac{6\pm 12}{6}$

Finalmente,

${t}_{1} = \frac{6 + 12}{6} = 3$

e

${t}_{2} = \frac{6 - 12}{6} = -1$

Considerando que valores negativos não nos interessa como resposta, concluimos que o tempo para que o objeto atinja sua altura máxima, será de 3 segundos, que é a resposta procurada.

por **Pessoa Estranha** » Seg Nov 17, 2014 18:45

Olá! Muito obrigada pela resposta!

Ainda tenho uma dúvida. Cheguei exatamente neste resultado, ou melhor, nos valores -1 e 3, mas eu também fiz um estudo do sinal, que indica 3 como ponto de mínimo local e -1, ponto de máximo local. Por isso, achei que 3 não poderia ser o ponto procurado. Por favor, eu não entendo. Pode explicar?

Muito obrigada mesmo! :y:

por **felipederaldino** » Qui Nov 27, 2014 11:28

realmente se derivarmos e igualarmos a zero, acharemos esses dois valores (-1 ,3 ). depois fazendo a segunda derivada para ver qual o ponto de maximo e o ponto de minimo da função vemos que a resposta que acharia o ponto de maximo é (-1)...mas como a função é em relacão ao tempo, nao teria como ser um tempo (negativo)..realmente nao faz sentido