[Trigonometria] Dúvida em relação a arcos duplos.

por **Antonio Unwisser** » Dom Set 28, 2014 16:39

Boa tarde, pessoal.
Simplesmente não consigo resolver exercícios que propõem que se ache o resultado de uma determinada operação a partir do resultado de outra.
Por exemplo:

Sabendo que
cossec x/sec x + sec x/cossec x = 5, o valor de ${\left(sen x + cos x \right)}^{2}$ é:

Ou então:
Se tg x + cotg x = 3, calcule sen 2x.

Estou com todas as identidades (cossec x = 1/sen x; etc.) em mente, bem como as fórmulas derivadas da Relação Fundamental, e também mantendo em mente que
sen 2x = 2senx.cosx, e cos 2x = ${cos}^{2}$ - ${sen}^{2}x$ , e as outras que se derivam a partir daí, bem como as da tangente.

Mas obviamente há alguma relação que não consigo enxergar. Qualquer ajuda será muito bem-vinda.
Obrigado pela atenção.

por **e8group** » Dom Out 05, 2014 21:42

Não há uma regra geral p/ resolver estes tipos de equações , e destes casos expostos o objetivo não é resolver a eq. primeiro p/ x e depois computar sin 2x , etc ...A ideia é reescrever estas equações em termos de sin 2x ou de sin x + cos x .. Veremos como isto é possível ...

Vou propor uma equação , escolha algum número real k (a princípio sem restrições ) , fixado a escolha seja a eq.

tan x + cot x = k

. Se você fizer k = 5 e depois igual 3 você terá exatamente as duas equações que expôs (certifique-se que o primeiro membro da 1ª eq. é o mesmo que o escrever tan x + cot x .) .

Agora note que $tan x = \frac{sin x}{cos x} , cot x = \frac{cos x}{sin x}$ .

Daí ,

$tan x + cot x = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = k$ . Ou ainda ,

$\frac{sin^2 x + cos ^2 x} {sin x cos x } = k$ .Mas

sabemos da relação trigonométrica que sin^2 x + cos ^2 x = 1

e também que sin 2x = 2 sin x cos x

. Assim ,

$tan x + cot x = \frac{sin^2 x + cos ^2 x} {sin x cos x } = \frac{1}{sinx cos x} = \frac{2}{2sinx cos x} = \frac{2}{sin 2x}$ o que implica

$sin 2x = \frac{2}{k}$ . Segue daí que podemos escolher qualquer k maior ou igual a 2 em módulo (pois seno é limitado por 1) .

Em particular , com k = 5 , tem a resposta desejada . Agora p/ computar (sinx + cos x)^2

note que

$(sinx + cos x)^2 = \underbrace{sin^2 x + cos^2x }_{1} + \underbrace{2 cos x sin x }_{sin 2x} } = 1 + \frac{2}{k}$

por **Antonio Unwisser** » Seg Out 06, 2014 19:43

Muitíssimo obrigado, santhiago. :y:

Antônio.

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