Teorema de Green - Circulação e Fluxo de uma Elipse

por **Victor Mello** » Qua Set 10, 2014 20:39

Boa noite,

O meu problema aqui foi encontrar o fluxo do campo dado por F = xi + yj

ao redor de uma elipse dada por r(t) = (cost)i + (4sent)j

, cujo intervalo de t varia de $[0,2\pi]$ .

Na verdade o meu problema é que a minha resposta não está de acordo com o gabarito, já havia tentado passo a passo a achar os semi-eixos dessa elipse, até provei a área de uma elipse que é $\pi ab$ utilizando mesmo o próprio Teorema de Green. Então, usei a função paramétrica e eliminei o parâmetro para achar a equação cartesiana dessa elipse parametrizada, que deu $\frac{y^2}{16} + x^2 = 1$ , cujo semi-eixo maior é 4 e semi-eixo menor é 1. Então, o fluxo que eu achei foi $4\pi$ , mas o gabarito deu $8\pi$ . Então, o que pode ter errado nessa questão? Se alguém puder esclarecer, eu agradeço.

Grato.

por **young_jedi** » Qui Set 11, 2014 09:42

Pelos meus calculos essa integral da 0 teria como você demonstrar os seus cálculo e dar uma conferida no enunciado ?

por **Victor Mello** » Qui Set 11, 2014 13:18

A resposta do gabarito é o seguinte:

A circulação é 0, mas o fluxo é $8\pi$ . Eu fiz o seguinte: Primeiro eu converti as equações paramétricas para equação cartesiana eliminando o parâmetro:

x(t)=cost

isolando o t, deu:

cost =x

$sent = \frac{y}{4}$

aí, utilizando a identidade trigonométrica, a equação de uma elipse seria de:

$\frac{y^2}{16} + x^2 = 1$ , é uma elipse "em pé", pois o semi-eixo maior está acompanhando com o y. Logo, a=4 e b=1

A questão é encontrar a circulação e o fluxo do campo dado por F = xi+yj

ao redor e através da elipse que eu citei no post. Já que eu consegui transformar a equação parametrizada numa equação normal, já dá para fazer integral.

Eu considerei a integral de circulação, do tipo $\int Mdx + Ndy$ . Só que no caso da elipse, a soma das derivadas tem que dar 1, aí o que eu fiz: Eu chamei N de X e M também X, pois se eu considerar como uma integral dupla, o somatório das derivadas realmente dá 1. Só que eu não quis deixar na forma de integral dupla para não dar muito trabalho na hora dos cálculos, mas a ideia minha é chamar M e N de x.

O meu cálculo ficou assim:

$\int_{0}^{2\pi} xdx + \int_{0}^{2\pi}xdy$ Convertendo tudo para coordenadas polares, ficou assim:

$\int_{0}^{2\pi} -16sen\theta cos\theta d\theta + \int_{0}^{2\pi}4cos^2\theta d\theta$ = $-16\int_{0}^{2\pi}sen\theta cos\theta d\theta + 2 \int_{0}^{2\pi}[1+cos(2\theta)] d\theta$ = $-16\int_{0}^{2\pi} udu + 2\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta + \int_{0}^{2\pi}cos(2\theta) d\theta \right)$ = $-8sen^2\theta + 2\theta + sen(2\theta) = 4\pi$ .

Agora o que não entendi é o porquê de dar zero, eu achei $4\pi$ . Não sei se não era pra considerar a área da elipse, ou era apenas substituir no campo vetorial, infelizmente não consegui encontrar solução correta.

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