[Funções Continuas] Calculo III

por **Marcos07** » Seg Jun 30, 2014 14:42

Compreendo exercícios que envolvam aplicação simples, mas estou tendo bastante dificuldade em definições desse gênero.

Ps: R^n significa R elevado a (n) enésima potência.
C significa está contido.
€ significa pertence

por **e8group** » Ter Jul 01, 2014 00:59

As notações não ficaram 100 % claras , por favor sempre use o sist. LaTeX . Estou supondo que ,

$f : \Omega \subset \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} , g : f(\Omega) \mapsto \mathbb{R}$ são as aplicações dadas . E desejamos mostrar que a composta $g \circ f$ é contínua em x_0

, certo ?

(Use as hipóteses )

é contínua em $y_0 = f(X_0) \iff$
$\begin{cases} \forall \epsilon > 0 , \exists \delta_0 > 0 : y \in f(\Omega) ( | y -y_0 | < \delta \implies |g(y) - g(y_0)| < \epsilon ) \iff \\ \forall \epsilon > 0 , \exists \delta_0 > 0 : f(X) \in f(\Omega) (| f(X) - f(X_0) | < \delta_0 \implies | (g\circ f )(X) - (g\circ f )(X_0)| < \epsilon ) \end{cases}$ .

é contínua em X_0

, então existe $\delta > 0$ t.q

$|| X - X_0|| < \delta \implies |f(X) - f(X_0)| < \delta_0$ (mesmo delta_0 que utilizamos acima ) ; logo

$|| X - X_0|| < \delta \implies |f(X) - f(X_0)| < \delta_0 \implies |(g\circ f )(X) - (g\circ f )(X_0)| < \epsilon$ .

E ...