[Progressão Aritmetica] Raciocinio-Pergunta MEXT

por **Thais Camerino** » Sex Mai 09, 2014 12:30

Oi gente, queria saber como devo fazer/pensar quando este tipo de pergunta aparece, se alguém tiver a paciência de explicar, ficaria muito grata ! :-D

Que d seja a razão da progressão aritmética { an } ( n = 1, 2, 3, .... ) que satisfaça estas duas condições :

${a}_{5}{a}_{7}- {a}_{4}{a}_{9} = 60 ; {a}_{11} = 25$ ${a}_{5}{a}_{7}- {a}_{4}{a}_{9} = 60 ; {a}_{11} = 25$

Logo,

(1) Ou $d = \left[A \right]$ ou $d = \left[B \right]$ , onde $\left[A \right] > \left[B \right]$ .
(2) Se $d= \left[A \right]$ , então ${a}_{1} = \left[C \right], {a}_{n} = \left[D \right]n - \left[E \right]$ , e a somatória dos primeiros n termos é 195_ quando $n = \left[F \right]$

por **e8group** » Sex Mai 09, 2014 14:50

Construa a sequência ,

$a_1 = a , a_2 = a_1 + d = a +d , a_3 = a_2 + d = a + 2d , \hdots , a_n = a + (n-1) d , \hdots$ .

Onde a,d

são numeros reais que satisfaça as condições dadas . Dá primeira eq. segue

$a_5 a_7 - a_4a_9 = 60 \iff [a + 4d][a+6d] - [a+2d][a+8d] = 60$ e dá ultima , $d_{11} = 25 \iff a + 10d = 25 \iff a = 25 -d$ . Basta subtituir este resultado na relação enterior e determinar o

que assegura as condições .

por **Thais Camerino** » Sáb Mai 10, 2014 01:39

santhiago escreveu:Construa a sequência ,

$a_1 = a , a_2 = a_1 + d = a +d , a_3 = a_2 + d = a + 2d , \hdots , a_n = a + (n-1) d , \hdots$ .

Onde são numeros reais que satisfaça as condições dadas . Dá primeira eq. segue

$a_5 a_7 - a_4a_9 = 60 \iff [a + 4d][a+6d] - [a+2d][a+8d] = 60$ e dá ultima , $d_{11} = 25 \iff a + 10d = 25 \iff a = 25 -d$ . Basta subtituir este resultado na relação enterior e determinar o que assegura as condições .

eu tinha montado essa equação mas ao desenvolve-la, não deu o resultado correto :s Na seguinte : $a_{11} = 25 \iff a + 10d = 25 \iff a = 25 -d$ Como o 10 desapareceu?

por **e8group** » Sáb Mai 10, 2014 10:38

Erro de digitação . Consegue avançar ?

por **Thais Camerino** » Sáb Mai 10, 2014 13:21

Acho que deu erro na sua mensagem Santhiago

por **e8group** » Sáb Mai 10, 2014 20:02

Sim , como já mencionei erro de digitação .

corrigindo : $a_{11} = 25$ e $a_{11} = a + (11-1)d = a + 10 d$ . Disso temos que 25- 10d = a

. Das duas uma , substitua a = 25 -10d

ou o próprio a+10d = 25

. Como prossegue ,

a +4d = a + 10d -6d = [a+10d] -6d = 25 -6d

a + 6d = a + 10d - 4d = [a +10d] -4d = 25 -4d

e assim por diante . Depois cabe a analisar a(s) solução(oes) de para d que satisfaz os dados .

por **Thais Camerino** » Ter Mai 13, 2014 13:52

Supostamente ficaria assim a equação : $\left(25-{6}_{d} \right)\left(25-{4}_{d} \right) - \left(25-{7}_{d} \right)\left(25 - {2}_{d} \right)= 0$ .... ?

Quando fiz não deu o resultado correto.. Na solução aparece o seguinte:

d = 4 ou d = $\frac{-3}{2}$
a = - 15
an = ${4}_{n}$ - 19
n = 15

Desculpa eu sei que é chato explicar algo pra alguém e ela não perceber.. mas não estou chegando la :s

por **e8group** » Ter Mai 13, 2014 14:32

Quase !

Vamos lá :

a_n = a + (n-1)d

n=1,2,3... .

$a_{11} = 25 \implies 25 = a + 10d \implies \boxed{ a = 25 - 10d }$ (i) . Agora , do enunciado

a_5a_7 - a_4 a_9 = 60

,i.e,

(Aqui substituirmos cada termo a_n

pelo seu correspondente a + (n-1)d

( n = 5,7,4,9 ) (ii)

Substituindo (i) em (ii) , ficamos com

$[ (25 - 10d)+ 4d][(25 - 10d) +6d] - [(25 - 10d) + 3d][(25 - 10d) +8d] = 60 \iff$

[25-6d][25-4d] - [25 -7d][25 -2d] = 60

(A sua eq. está correta )

Aplicando a distributiva e simplificando obtemos a equação 10d^2 -25d -60 = 0

que nos dá graças a fórmula resolvente $d = 4 \vee d = -3/2$ como solução da equação .

Para cada valor de

acima (que satisfaz a_5a_7 - a_4 a_9 = 60

) é possível encontrar um

correspondente que satisfaz $a_{11} = 25$ , e assim ambas condições serão estabelecidas . Temos então duas possíveis sequências (P.A) que satisfaz as condições do enunciado .

Não encontrasse estes valores ?