Prova a partir da definição de limite para uma função 3 grau

por **diegol** » Qui Abr 24, 2014 12:16

Pessoal, estou tentando provar o resultado de um limite pela sua definição, no entanto, só consigo fazer para no máximo funções de segundo grau, e eu gostaria de saber as manipulações necessárias para uma de terceiro. Vejam o raciocínio base para uma de segundo:
Provar, pela definição, que $Lim_{x\rightarrow 3}x^2 = 9$
Para que isso seja verdade, por definição, deve
$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0~~|$
$0<|x-3|<\delta \rightarrow |x-9| < |x+3||x-3|<\epsilon$

Vê-se que caso uma constante C > |x+3|

for encontrada, poderemos fazer
$|x-9| < |x+3||x-3|<C|x-3| <\epsilon \rightarrow |x-3|<\frac{\epsilon}{C} = \delta$ , de modo a conjecturar um valor para $\delta$
Como queremos um $\epsilon$ pequeno, podemos supor que |x-3| < 1

, e, através de algumas manipulações,
$|x-3|<1\rightarrow -1<x-3<1\rightarrow 2<x<4\rightarrow 5<x+3<7\rightarrow x+3<7\rightarrow C = 7$
Portanto, encontramos um valor C = 7

adequado; no entanto, adquirimos duas restrições para |x-3|

, quais sejam:
|x-3|<1

e $|x-3|<\dfrac{\epsilon}{7}$
E, como $0<|x-3|<\delta$ , os dois valores sugestivamente parecem ser adequados para $\delta$ ; assim, para satisfazer as duas equações, conjecturamos $\delta = min[{1, \dfrac{\epsilon}{7}]$ .
Pois bem, no entanto, queremos a recíproca destas conclusões, analisamos-a:

Dado $\epsilon>0$ e $\delta = min[{1, \dfrac{\epsilon}{7}]$ , temos que:
Se $\delta = 1$ : $~~|x-3|<1\rightarrow 5<x+3<7\rightarrow x+3 <7$
Se $\delta = \dfrac{\epsilon}{7}$ : $~~|x-3|<\dfrac{\epsilon}{7}$
Nesse caso, vemos que:
$|x^2-9|=|x+3||x-3| < 7\times \dfrac{\epsilon}{7} = \epsilon$
Assim, por definição, o limite sumariamente exposto é verdadeiro.

Agora vejamos para uma função do 3º grau:
Prove, pela definição, que $Lim_{x\rightarrow 2}x^3=8$
Isto é verdade, por definição, como anteriormente exposto, se, e somente se,
$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0~~|$
$0<|x-2|<\delta \rightarrow |x^3 - 8| < \epsilon$
Vemos que |x^3 - 8| < |x-2||x^2+2x+4|, ou seja, se acharmos um k~~|~~|x^2+2x+4|<k

, poderemos fazer:
$|x^3 - 8| < |x-2||x^2+2x+4| < |x-2|k<\epsilon \rightarrow |x-2|<\dfrac{\epsilon}{k} = \delta$
E a partir daí seguir como feito no exemplo anterior.
Eu gostaria de supor que |x-2| < 1

, mas não consegui isolar |x^2+2x+4|

a partir daí... alguém pode me explicar como fazê-lo? Agradeço sugestões...

por **diegol** » Qui Abr 24, 2014 12:40

Ok, eu conclui que não preciso isolar fator algum, vejam:
Supondo-se que |x-2|<1

, obtemos:
$|x-2|<1\rightarrow-1<x-2<1\rightarrow1<x<3\therefore x<3$ , daí:
|x^2+2x+4| < |x||x+2|+|4| < |3||3+2|+|4| = 19

Portanto achamos uma constante k = 19

, certo?

por **Man Utd** » Sex Abr 25, 2014 00:01

Está correto sim.

Só lembrando que tbm poderíamos escolher $\delta=\frac{1}{2}$ ou qualquer outro valor pequeno,Por exemplo :

$|x-2|<\frac{1}{2} \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; \frac{3}{2}<x<\frac{5}{2}$

então :

$|x-2|<\delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x-2|*|x^2+2x+4|<\epsilon$

Esboçando

no intervalo $\frac{3}{2}<x<\frac{5}{2}$ ,percebemos que : $\frac{37}{4}<|x^2+2x+4|<\frac{61}{4}$ , então :

$|x-2|<\delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x-2|*|x^2+2x+4|<|x-2|*\frac{61}{4}<\epsilon$

$|x-2|<\delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x-2|*\frac{61}{4}<\epsilon$

$|x-2|<\delta \;\;\; \Leftrigharrow \;\;\; |x-2|<\frac{4 \epsilon}{61}$

então bastar tomar : $\delta=\frac{4 \epsilon}{61}$ , então temos que : $\delta min=\left[\frac{1}{2},\frac{4 \epsilon}{61} \right]$ ,provando que funciona :

$|x-2|*|x^2+2x+4|<|x-2|*\frac{61}{4}<\delta * \frac{61}{4}=\frac{4 \epsilon}{61}*\frac{61}{4}=\epsilon$

por **e8group** » Sex Abr 25, 2014 00:16

vou apenas , digamos , rascunhar para poder verificar se sua solução está coerente . Começamos de trás p/ frente ...

Temos |x^2 - 9| = |x-3||x+3|

. Como estamos trabalhando com

próximo de 3 , logo |x+3| < 7

. E com isso , $|x^2 - 9| < 7 |x-3| < 7 \delta$ .Aqui já consigo ver que sua solução está coerente .

Vamos para o próximo .

Queremos provar que $\lim_{x\to 2} x^3 = 8$ .

Temos $|x^3 -8| = |x-2||x^2 +2x +4| \leq |x-2|(|x|^2 +2|x| +4)$ .

Além disso , se $0 < |x-2| < \delta \leq 1$ então |x| < 1 + |2| = 3

. Daí ,

$|x^3 -8| = |x-2||x^2 +2x +4| \leq |x-2|(|x|^2 +2|x| +4)< |x-2|(3^2 +2(3) +4) = |x-2| \cdot 19$ .

Novamente vejo que sua solução está coerente , parece que escolheu delta adequadamente .

Também podemos generalizar a potência para

natural quaisquer , e para um ponto genérico

fixado e provar que $\lim_{x\to a} x^n = a^n$ . O raciocínio é análogo para este caso mais geral .