por leticia_08 » Sáb Abr 19, 2014 20:12
Olá, gostaria de tirar uma dúvida.
Se possuo uma sequência an, tal que an>0 para todo n>=0, e \Sigma an diverge, então mostre que \Sigma an/(an+1) também diverge.
Tentei separar a série em uma soma de duas outras séries, mas acabou não dando certo. Alguém poderia ajudar ??
Obrigada !!
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leticia_08
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por e8group » Sáb Abr 19, 2014 22:19
Boa noite leticia_08 . Por favor , sempre utilize o LaTeX . É difícil entender as expressões , não entendo se vc quer dizer

ou

. Vamos considerar que estamos no segundo caso .
Pensei em provar por contradição , o que acha ?
Denote

e

onde

.
Se

converge então

. Segue-se,

.
Logo

e assim

.
Desde que

diverge e

, não podemos ter

.
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por Russman » Dom Abr 20, 2014 00:29
Se

é divergente então

que é menor que

tem de divergir também. Não? :|
"Ad astra per aspera."
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por e8group » Dom Abr 20, 2014 00:41
Sim a desigualdade é verdadeira . Mas como prova partindo dela ? Comparação direta ?
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por Russman » Dom Abr 20, 2014 00:58
Eu pensei em comparação. Claro que se

e

é convergente, então

também é. Da mesma forma, se

é divergente então

também. Mas sabemos que

é divergente. Não sei se na última afirmação vale a recíproca.
A comparação no limite, acho eu, é inconclusiva pq não quer dizer que o limite de

é não-nulo só pq

é divergente. Pode ser que sim, né.
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por e8group » Dom Abr 20, 2014 11:49
Tem razão Russman , o limite é inconclusivo , fácil encontrar contra-exemplos .

e

.
Pensei em trabalhar com

ilimitado e limitado .
No primeiro caso

, logo

diverge .
No segundo caso , temos que existe

tal que

(a_n é limitado inferiormente por 0 e superiormente por M ) . Daí segue

. Como

é uma constante , então a série

também diverge que por sua vez , a sua divergência implica a de

.
O que acham ??
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por Russman » Dom Abr 20, 2014 13:42
Acho que a demonstração está coerente, santhiago. De sorte que os termos são todos positivos. ;D
Bom artifício quebrar a comparação dessa forma.
Editado pela última vez por
Russman em Dom Abr 20, 2014 13:44, em um total de 1 vez.
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por Russman » Dom Abr 20, 2014 13:42
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Assunto:
Unesp - 95 Números Complexos
Autor:
Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22
(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo

em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.
Assunto:
Unesp - 95 Números Complexos
Autor:
MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27
Seja

o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo

. O triângulo é retângulo com catetos

e

, tal que

. Seja

o ângulo complementar. Então

. Como

, o ângulo que o afixo

formará com a horizontal será

, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se

, então

. Como módulo é um:

.
Logo, o afixo é

.
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