[Séries] Dúvida sobre divergência de série

por **leticia_08** » Sáb Abr 19, 2014 20:12

Olá, gostaria de tirar uma dúvida.
Se possuo uma sequência an, tal que an>0 para todo n>=0, e \Sigma an diverge, então mostre que \Sigma an/(an+1) também diverge.

Tentei separar a série em uma soma de duas outras séries, mas acabou não dando certo. Alguém poderia ajudar ??
Obrigada !!

por **e8group** » Sáb Abr 19, 2014 22:19

Boa noite leticia_08 . Por favor , sempre utilize o LaTeX . É difícil entender as expressões , não entendo se vc quer dizer

$\sum \frac{a_n}{a_{n+1}}$ ou $\sum \frac{a_n}{a_n +1}$ . Vamos considerar que estamos no segundo caso .

Pensei em provar por contradição , o que acha ?

Denote $S = \sum a_n$ e $S '= \sum b_n$ onde $b_n = \frac{a_n}{a_n +1}$ .

Se

converge então lim(b_n) = 0

. Segue-se,

$0 = lim(b_n) = lim \left(1 - \frac{1}{a_n +1} \right) = 1 - lim \left(\frac{1}{a_n +1} \right)$ .

Logo $\left(\frac{1}{a_n +1} \right) = 1$ e assim lim(a_n) = 0

.

Desde que

diverge e $a_n > 0 \forall n$ , não podemos ter lim(a_n) = 0

.

por **Russman** » Dom Abr 20, 2014 00:29

Se

é divergente então $\frac{a_n}{a_n + 1}$ que é menor que a_n

tem de divergir também. Não? :|

por **e8group** » Dom Abr 20, 2014 00:41

Sim a desigualdade é verdadeira . Mas como prova partindo dela ? Comparação direta ?

por **Russman** » Dom Abr 20, 2014 00:58

Eu pensei em comparação. Claro que se b_n < a_n

e

é convergente, então b_n

também é. Da mesma forma, se b_n

é divergente então a_n

também. Mas sabemos que a_n

é divergente. Não sei se na última afirmação vale a recíproca.

A comparação no limite, acho eu, é inconclusiva pq não quer dizer que o limite de a_n

é não-nulo só pq a_n

é divergente. Pode ser que sim, né.

por **e8group** » Dom Abr 20, 2014 11:49

Tem razão Russman , o limite é inconclusivo , fácil encontrar contra-exemplos .

$1/n > 0 \forall n > 1 , lim(1/n) = 0$ e $\sum_{1} 1/n = +\infty$ .

Pensei em trabalhar com a_n

ilimitado e limitado .

No primeiro caso $lim(a_n) = +\infty$ , logo $\lim(b_n) = 1 \neq 0 \implies \sum b_n$ diverge .

No segundo caso , temos que existe M > 0

tal que $0< a_n \leq M$ (a_n é limitado inferiormente por 0 e superiormente por M ) . Daí segue

$a_n + 1 \leq M + 1 \implies \frac{1}{a_n +1} \geq \frac{1}{M+ 1} \implies \frac{a_n}{a_n +1} \geq \frac{1}{M+ 1} a_n$ . Como $\frac{1}{M+ 1}$ é uma constante , então a série $\sum \frac{a_n}{M+ 1}$ também diverge que por sua vez , a sua divergência implica a de $\sum \frac{a_n}{a_n +1}$ .

O que acham ??