Binomio de newton ITA

por **Ovelha** » Ter Abr 15, 2014 16:09

Qual o coeficiente de x^17

no desenvolvimento de (1+x^5+x^7)^20

por **e8group** » Ter Abr 15, 2014 23:35

Deixe

em evidencia , teremos

$(1 + x^5 +x^7)^{20} = (1 +[x^5(1 +x^2)])^20$ .Pelo teorema binomial , $1 +[x^5(1 +x^2)])^20= \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} [x^5(1+x^2)]^k = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} x^{5k}(1+x^2)^k = 1 + \binom{20}{1}x^5(1+x^2 ) + \binom{20}{2}x^{10}(1+x^2)^2 + \binom{20}{3}x^{15}(1 +x^2)^3 + \sum_{k=4}^{20} \binom{20}{k} [x^5(1+x^2)]^k$ .

O termo $x^{17}$ é oriundo da 4 parcela $C_{20,3} x^{15}(1+x^2)^3$ . Basta desenvolver para encontrar o coefc.

Observe que nas parcelas , $\C_{20,k} x^{5k}(1+x^2)^k$ , o grau de x será sempre menor que

quando $k \leq 2$ (afinal de contas $k \leq 2 \implies 5k + 2k \leq 14$ ) e maior que

quando

(afinal de contas $k \geq 4 \implies 5k > 17 ) \geq$ ) .

por **Ovelha** » Qua Abr 16, 2014 08:24

valeu pela ajuda, tô novo no assunto vou tentar desenvolver e se tiver problemas vou pedir sua ajuda, tudo bem?

Deus abençoe

por **e8group** » Qua Abr 16, 2014 10:19

Tranquilo , qualquer dúvida só dizer .

por **Ovelha** » Qua Abr 16, 2014 13:16

Olá, tudo bem. Comecei a fazer agora não estou conseguindo passar da combinação, estou tendo problemas no desenvolvimento,não consigo visualizar como desenvolver.

Desculpe pelo aluguel

Deus abençoe

por **e8group** » Qua Abr 16, 2014 15:23

OK . :

Temos $\binom{20}{3} x^{15}(1+x)^3$ e (1+x^2)^3 = (1+x)(1+x^2)^2 = (1+x)(1 + 2x^2 + x^4) = 1 + 2x^2 + x^4 + x + 2x^3 + x^4

. O único termo que nos interessa é 2x^2

, pois $x^{15} x^2 = x^{17}$ . Então o coefc. é $2 \binom{20}{3} = 2 \cdot \frac{20!}{3! 17!} = 2 \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{6 17!} = 6 \cdot 20 \cdot 19 =2280$ .

por **Ovelha** » Qui Abr 17, 2014 15:05

Valeu Santhiago, contudo eu estava olhando e descobri que as possiveis respostas da questão colocads como opção foram:
a) 0
b)3000
c)1210
d)3420
e)4000

Continuo contando com sua ajuda

Deus abençoe

por **e8group** » Qui Abr 17, 2014 17:42

Perdão ! Na correria acabei digitando errado . Vamos lá , sabemos que o termo da forma $\lambda_1 x^{17}$ vem da expressão $\binom{20}{17} x^{15}(1+x^2)^3$ . Ao desenvolvermos (1+x^2)^2

precisaremos de $\lambda_2 x^2$ . Pois , produto de números de mesma base conserva a base e soma os expoentes . Logo o coef. será $\lambda_2 \binom{20}{17} = \lambda_2 \cdot 1140$ . Agora vamos determinar $\lambda_2$ .

Vamos utilizar o teorema binomial (será + rápido !!!)

$(1+x^2)^3 = \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k}(x^{2}))^k \cdot 1^{3-k} = \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k} x^{2k}$ . Precisamos apenas de $\binom{3}{1} x^{2 \cdot 1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} x^2 = 3x^2$ . Assim , o nosso $\lambda_2$ é 3 , logo a resposta será

$\lambda_2 \binom{20}{17} = \lambda_2 \cdot 1140 = 3 \cdot 1140$ . Por favor , agora check a resposta .

por **Ovelha** » Qui Abr 17, 2014 21:02

Muito obrigado, se você tiver um bom material de binômio estilo ita com questões resolvidas e comentadas. Aceito receber o link ou pdf para estudo,

Deus abençoe

por **e8group** » Qui Abr 17, 2014 22:07

De nada . Conheço um site que pode ser útil para vc : http://www.rumoaoita.com/site/

por **Ovelha** » Sáb Abr 19, 2014 13:48

Valeu pela dica. Agora desejo sabaer uma duvida. Ao escrever "Ao desenvolvermos (1+x^2)^2

" na resposta os termos dentro doparenteses é elevado a 2 ou 3.

Obrigado
Deus abençoe

por **e8group** » Sáb Abr 19, 2014 14:00

OMG , pensei certo e escrevi errado de novo .

O certo é ao desenvolvermos (1+x^2)^3

... . As potências de (x^2) serão sempre 0,1,2,3 . Todos naturais menores que 3 , Ou ainda , As potências de x serão 0,2,4,6 .

Lembre-se que ao desenvolver (a+b)^n