Derivada em um ponto

por **rodrigo lara** » Sex Dez 27, 2013 20:31

A função diferenciável y = f(x) é tal que para todo x?D(f) , o ponto (x, f (x) ) é solução da equação
xy³ + 2xy² + x = 4 . Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, f (1) ).

por **e8group** » Sex Dez 27, 2013 22:10

A função

é dada implicitamente pela equação (dada) e temos (por simplicidade omitiremos a dependência de f por x )

xf^3 +2xf^2 +x = 4

.Derivando-se ambos lados com respeito a

(Atenção as regras : Cadeia ,produto) ,segue

$( xf^3 +2xf^2 +x)' = (4)' = 0 \iff (xf^3)' + (2xf^2)' + x' = 0 \iff x'f^3 + x(f^3)' + 2(f^2)' + 1 = 0 \iff f^3 + x(3f^2 \cdot f') + 2 (2f \cdot f') +1 = 0 \iff f^3 + 1 + f' (3xf^2 +4f) = 0$ .

Vale ressaltar que esta última expressão corresponde a de baixo

[f(x)]^3 + 1 + f'(x) (3x[f(x)]^2 +4f(x)) = 0