[Análise Combinatória] Exercício

[Pessoa Estranha]

"SE A E B SÃO CONJUNTOS E A QUANTIDADE DE ELEMENTOS EM A É n E A EM B É r, QUANTAS FUNÇÕES f : A ----> B, INJETORAS EXISTEM ?
() "

Por favor, não quero a resolução e nem mesmo decorar fórmulas. Quero entender a questão. Quando tentei resolver, deu errado. Por favor, ajudem....

Obrigada!

[e8group]

Veja um exemplo para e . Considere

e seja o conjunto das aplicações injetoras .Notando que ,poderíamos pensar em quantos subconjuntos (distintos) de possui cardinalidade 3 . Nota :

Para cada subconjunto de B com 3 elementos é possível obter o mesmo número de aplicações injetivas tais que .

Obs.:

Em relação as apliçaões cuja o conjunto imagem é , o que difere cada aplicação é a regra de associação . E a cada par de aplicações cujos conjuntos imagens são respect. o que difere estas funções são os conjuntos imagens .

Exemplo :

Seja . É possível definir aplicações injetivas (distintas) . Ora , se podemos ter ou ou ainda .Assim , basta por (j=1,2,3) .

Mas ainda há outros subconjuntos de B ,





.

(Note que o número de subconjuntos com cardinalidade = 3 pode ser calculado por ).

Logo , ao todo é possível definir 12 aplicações injetivas (distintas) , em linguagem de conjunto .

O que acha ? Caso esteja correto ,dá para generalizar utilizando o raciocínio acima ?

[tenebroso]

ALGUÉM PODERIA DAR UMA AJUDINHA LÁ EM MINHAS QUESTÕES...? EHHEHEHEHE..

[e8group]

Não está certo .

Por exemplo ,considere . E defina injetora . Segue-se que pode tomar 4 valores , pode tomar 3 valores e 2 valores . Assim o número total de funções injetivas é

.

Justificativa .

Defina injetora .

Como vimos pode tomar 4 valores ,suponha .Então pode tomar um dos 4 valores exceto m ,suponha e pode tomar um dos 4 valores exceto , suponha . Estas palavras acima se resume em :

.

Imagine 3 segmentos de retas verticais .Marque 4 pontos sobre L_1 , 3 pontos sobre a reta L_2 e 2 sobre a L_3 (em que estes pontos podem ser visto com os valores que m_i podem assumir ,escolhendo um na primeira reta ,na segunda reta terá 3 possibilidades todas distintas da escolha anterior e assim por diante )

Partindo do primeiro ponto de e escolhendo um caminho dentre os que há para chegar em um dos pontos de .Chegando lá , podemos escolher um caminho p/ chegar em um dos pontos de dentre os 3 disponíveis . Para cada procedimento completo nos fornecerá uma aplicação injetiva .Só aqui já conseguimos , aplicações injetoras .

Partindo do segundo ponto de e fazendo o mesmo acima obteremos aplicações injetoras e assim por diante podemos obter no total aplicações injetoras .

Acho que agora está certo .

[Pessoa Estranha]

Eu ia questionar exatamente isto. Fiz as contas e, realmente, resultou em 24 e não em 12. Bem, com relação ao caso geral, n e m, vou pensar um pouco mais no que você escreveu e tentar fixar melhor a ideia. Muito obrigada pela ajuda!

[e8group]

Anexei uma imagem neste tópico explicando este processo .

viewtopic.php?p=44888#p44888

[tenebroso]

O lucro obtido por um comerciante na venda de determinado produto é dado , em reais, pela função L(x)= -1/10x²+ 15x, sendo x o número de unidades vendidas e o menor que x menor que 150.
Se L(m) é o lucro máximo que comerciante tem condições de obter, pode-se afirmar que log( l(m)/3m) é igual a:

a) 1+2log2
b) 2log2+log5
c) 2-log5 QUEM CONSEGUE RESOLVER? EU NÃO CONSEGUI, ALGUÉM CONSEGUE?
d) 1-2log2
e) 1-2log5

[Pessoa Estranha]

Olá....

Então, acho que podemos afirmar algo sobre o caso geral. Temos que, se A tem n elementos e B tem r, então, para f : A ----> B, podemos ter o seguinte raciocínio: seja x1 um elemento de A; x1 tem r elementos de B disponíveis para ser sua imagem. Mas, uma vez escolhido um r1 de B, como f deve ser injetora, outro elemento de A, um x2, já não tem mais r opções de imagem e, sim r-1. E isto se repete sucessivamente. Se aplicarmos este raciocínio, teríamos, para um caso geral, r.(r-1).(r-2). ... .(r-(n-1)). Bem, fazendo manipulações algébricas, chega-se à fórmula do Arranjo Ar,n = .

Fórmulas, fórmulas, fórmulas e mais fórmulas !!!!

Quando fiz este exercício pela primeira vez, consegui chegar até r.(r-1).(r-2). ... .(r-(n-1)) (e a resposta, é claro, não estava assim), mas nem passou pelo meu raciocínio que era, na verdade, a fórmula do arranjo.

Bem, muito obrigada pela sua ajuda. Consegui fixar melhor o raciocínio. Valeu!

[Pessoa Estranha]

Tenebroso, você tentou resolver o seu exercício ou tem alguma ideia ? Se, até amanhã, ninguém te ajudar, tentarei fazer. Estou olhando os seus exercícios. Aquele de combinatória está bem esquisito, parece que falta informação. Até mais.