Integrais - calcular unidades de área

por **soraaxs** » Sáb Nov 30, 2013 22:41

Ola?
Estou precisando de ajuda com estas 2 questões..
Esta:

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E esta :

Imagem

Podem me ajudar?

Desde ja agradeço (:

por **soraaxs** » Dom Dez 01, 2013 18:26

Ngm? :(

por **Bravim** » Seg Dez 02, 2013 01:02

Vou fazer aqui o Desafio 1:
A área do triângulo é dada por:
$\int_{0}^{1}\int_{x}^{\frac{x}{4}}dxdy+\int_{1}^{2}\int_{\frac{x}{4}}^{\frac{1}{x}}dxdy$
Resolvendo os integrais teremos:
S1= ln2

Como o logaritmo de dois é um número transcendente é meio óbvio que é falso, mas é APROXIMADAMENTE igual ao resultado.
Não sei direito como responder a essa questão então vou deixar aí o resultado, mas para mim é falso.
A área da outra figura eu vou fazer da seguinte forma: Calcularei apenas no primeiro quadrante e multiplicarei por 4 para aproveitar a simetria da figura.
S2= $4*(\int_{0}^{1}\int_{0}^{4}dxdy+\int_{1}^{4}\int_{0}^{\frac{4}{x}}dxdy)$
S2= 16+32ln2

Essa com certeza é falsa. (É possível perceber que é falsa porque só o retângulo [-1,1]x[-4,4] tem uma área maior que 6)

por **Bravim** » Seg Dez 02, 2013 01:34

No Desafio 2 é mais fácil você se lembrar do Teorema de Pappus assim você só tem de integrar uma vez.
$S=2\pi*\int_{\frac{1}{2}}^{2}4*\sqrt[]{\frac{t^2}{4}+1}dt*\frac{\int_{\frac{1}{2}}^{2}8t*\sqrt[]{t^2+4}dt}{\int_{\frac{1}{2}}^{2}4*\sqrt[]{\frac{t^2}{4}+1}dt}$
Deste modo aquelas integrais se cancelam e só sobra
$S=2\pi*\int_{\frac{1}{2}}^{2}t*\sqrt[]{t^2+4}dt$
$S=\frac{2\pi}{3}*(128*\sqrt[]{2}-17*\sqrt[]{17)}$