somatória

por **geobson** » Sáb Ago 10, 2013 15:08

ja tentei ,mas não consegui resolver este problema de somatória .foi retirado do livro geometria plana simples assim de wanderson coelho cardoso ,no capítulo de triângulos retângulos.deve ter algo a ver com o teorema de pitágoras...
por favor quem souber resolva ou pelo menos alguma sugestão
desde ja fico grato...

para todo n positivo, seja ${S}_{n}$ ovalor mínimo da soma : $\sum_{k=1}^{n}$ $\sqrt[]{(k-1)²+ak²}$ , onde ${a}_{1}$ , ${a}_{2}$ , ..., ${a}_{n}$ são numeros reais positivos cuja soma é igual a 17. sabendo que existe um único número inteiro positivo n para o qual ${S}_{n}$ é também um número inteiro , o valor de n é igual a :
a)10
b)12
c)15
d)16
e)17

não sei explicar ,mas o Â dentro da raiz (a maiúsculo não existe na expressao )!!!!!!!!!!!!!! a expressão (2k-1)²+ak² existe mas o Â não existe

por **young_jedi** » Dom Ago 11, 2013 18:52

pensei no seguinte se considerarmos triângulos retângulos todos semelhantes com catetos dados por

2K-1

e

então a hipotenusa de cada triangulo sera

$\sqrt{(2k-1)^2+A_k^2}$

sendo assim o somatorio é igual ao a soma das hipotenusas desses triangulos
como todos os triângulos são semelhantes então existe um triângulo semelhante aos demais em que seus catetos são dados pela soma dos catetos de todos esses trianulos e a hipotenusa é a soma de todas as hipotenusas de todos esses triângulos, sabemos que a soma dos catetos $A_1+A_2+A_3+\dots+A_n=17$ portanto um dos catetos desse triangulo é 17 e o outro é dado pela soma

$(2.1-1)+(2.2-1)+(2.3-1)+\dots+(2.n-1)$

$2.(1+2+3+\dots+n)-(1+1+1\dots)=2.(1+n).\frac{n}{2}-n$

=n^2

então o outro cateto mede n^2

então a hipotenusa que é igual ao somatório que queremos encontrar é dada por

$=\sqrt{(n^2)^2+17^2}$

temos que encontrar um valor para n para o qual essa raiz de um valor exato
dos valores dados ai nas respostas o que satisfaz é n=12

$\sqrt{12^4+17^2}=145$

não sei se tem outra forma de se resolver, vou continuar pensando qualquer evolução eu posto aqui

por **e8group** » Dom Ago 11, 2013 21:19

Muito interessante a solução acima .Só gostaria de acrescentar mais uma ideia de forma a não usarmos as alternativas para calcular o valor de

.

Conforme young jedi propôs sendo todos triângulos retângulos(nomeando eles de $T_1,\hdots ,T_n$ ) de catetos a_k ,(2k-1)

e hipotenusa $\sqrt{a_k^2 + (2k-1)^2 }$ (que vamos designar por l_k

) semelhantes . Evidenciando a constante de proporcionalidade dos lados dos triângulos $T_1, \hdots , T_n$ concluímos que o triângulo retângulo de catetos $\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + \hdots + a_n = 17 , \sum_{k=1}^n(2k-1) = n^2$ e hipotenusa $\sum_{k=1}^n l_k = \sqrt{289+n^4}$ é semelhante a todos triângulos retângulos $T_1,\hdots ,T_n$ . Agora notamos que a hipotenusa deste triângulo retângulo é estritamente maior que n^2